Тригонометрия

Простейшие тригонометрические уравнения

Тригонометрическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции, например, sin3x=22...

Существует два способа решения тригонометрических уравнений:

Первый способ – с использованием формул.

Второй способ – через тригонометрическую окружность.

Тригонометрическая окружность позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы.

https://master-ivanova.ru/wp-content/uploads/2022/02/Picture-31-671w485h.jpeg

.Чтобы уметь решать тригонометрические уравнения необходимо знать как минимум следующее:

 какие знаки принимает та или иная тригонометрическая функция в разных четвертях тригонометрической окружности;
 какие из этих функций нечётные, а какие – чётные;
 знание значений тригонометрических функций в основных углах 1 четверти.

.

.

Простейшие тригонометрические уравнения

.

Что же это такое? Является ли, например, уравнение 22x−11=13 тригонометрическим?

Не является! Потому что ни одной тригонометрической функции (sinx,cosx,tgx,ctgx) в нём нет!

А что насчёт вот такого уравнения: sin2x+3x=2?

И опять ответ отрицательный!

Это так называемое уравнение смешанного типа.

Оно содержит как тригонометрическую составляющую, так и линейную (3x).

Тригонометрические уравнения – это уравнения, в которых неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции!

Например:

6cos2x+5sinx7=0

sinπx=1

35sinx+45cosx=1

и т.д.

Однако для начала мы не будем решать сложные и иногда неприступные тригонометрические уравнения, а ограничимся самыми простыми уравнениями вида:

.

sinf(x)=a

cosf(x)=a

tgf(x)=a

ctgf(x)=a

.

Где a – некоторое постоянное число, равное, например, 12.., 1, 1, π, 13 и т. д.

f(x) – некоторая функция, зависящая от искомой переменной x, например  f(x)=x, f(x)=2x, f(x)=πx6..  и т. д.

Такие уравнения называются простейшими.

Основная цель решения ЛЮБОГО тригонометрического уравнения – это свести его к виду простейшего!

.

Тригонометрические уравнения можно решать двумя способами: используя формулы или при помощи тригонометрической окружности.

Мы рассмотрим с вами решение тригонометрических уравнений при помощи формул.

.

sinx=a

cosx=a

tgx=a

ctgx=a

.

Я хочу сразу предупредить, будьте внимательны:

Уравнения вида: sinx=a  и  cosx=a  имеют смысл только тогда, когда  1a1

Уравнения вида:  tgx=a  и  ctgx=a   имеют смысл уже при всех значениях a.

То есть, не нужно знать вообще никаких формул, чтобы спокойно ответить, что уравнения, например:

sinx=500,  cos(2xπ)=2,  sin.(x3π2..)=3

корней не имеют!!! Так как правая часть уравнения содержит числовое значение, не удовлетворяющее условию для синуса и косинуса

1a1

Для остальных же случаев мы будем применять тригонометрические формулы, отображенные в этой таблице:

.

.

.На самом деле в этой таблице данных немного больше, чем нужно.

Вам необходимо лишь запомнить первые два её столбца, другие столбцы – частные случаи решения тригонометрических уравнений.

.

Глядя на таблицу, не возникают ли у вас вопросы?

Например, такие:

Что такое n и что такое, например arcsina, arccosa, arctga, arcctga?  

Разберем все по порядку:

n – это любое целое число, принадлежащее множеству целых чисел Z (0, 1, −1, 2, −2, …. ).

.

В чем уникальная особенность тригонометрических уравнений перед всеми остальными, которые вы изучал?

ОНИ ИМЕЮТ БЕСКОНЕЧНОЕ МНОЖЕСТВО КОРНЕЙ в ответе!!!

И число n служит для обозначения этой «бесконечности».

Конечно, вместо n можно писать любую другую букву, только не забывайте добавить в ответе: nZ, что означает, что n – есть любое целое число.

Теперь насчёт арксинуса и других «арков». Вообще, так записываются обратные тригонометрические функции, и понимать, скажем, arcsinα надо как «угол, синус которого равен α».

 arcsinα– угол, синус которого равен α
 arccosα– угол, косинус которого равен α
 αarctgα– угол, тангенс которого равен α
 αarcctgα – угол, котангенс которого равен α

Например,

arcsin0=0

arccos22..=π4..

arcsin12..=π6..

atctg3=π3..

Данную тему мы рассматривали с вами на прошлом уроке.

.

Пример: Решить уравнение sinx=12...

Решение.

Данное уравнение относится к типу sinx=a, где 1a1

Сравним левые и правые части нашего уравнения и стандартного уравнения:

Левые части этих уравнений одинаковые, а в правой части нашего уравнения а принимает значение 12.. . Перед тем как выбрать и применить формулу для вычисления корней, проверим, удовлетворяет ли число 12.. условию 1a1?

Да, 12..<1. Теперь мы должны выбрать соответствующую формулу вычисления корней. Воспользуемся таблицей.

Итак, для уравнения типа sinx=a,   где  1a1

мы применим формулу x=(1)narcsina+πn

То есть,

sinx=12..

x=(1)narcsin12..+πn,    

  

.Пояснение:  arcsin12..=π6.. (по таблице значений углов)

.

x=(1)nπ6..+πn, nZ

При записи окончательного ответа в конце всегда необходимо добавить условие, при котором найденное решение имеет смысл. В данном (и всех последующих) случае мы добавили в конце nZ.

Ответ: x=(1)nπ6..+πn, nZ

.

Пример: Решить уравнение cosx=32...

Решение.

Данное уравнение относится к типу cosx=a, где 1a1

Сравним левые и правые части нашего уравнения и стандартного уравнения:

Левые части этих уравнений одинаковые, а в правой части нашего уравнения а принимает значение 32.. . Перед тем как выбрать и применить формулу для вычисления корней, проверим, удовлетворяет ли число 32.. условию 1a1?

Да, 32..<1. Теперь мы должны выбрать соответствующую формулу вычисления корней. Воспользуемся таблицей.

Итак, для уравнения типа cosx=a,   где  1a1

мы применим формулу x=±arccosa+2πn

То есть,

cosx=32..

x=±arccos.(32..)+2πn,    

  

Пояснение:  arccos(32..)=5π6.. (по таблице значений углов)

.

Обратите внимание, что в таблице некоторые числовые значения для одной и той же функции повторяются:

https://master-ivanova.ru/wp-content/uploads/2022/02/form_trig_uravnenii1.jpg


.
То есть, например, cos.(32..)=5π6.. и также cos.(32..)=7π6...

В дальнейшем, во избежание несоответствий в ответах, условимся с вами в подобных ситуациях всегда выбирать из таблицы значений углов тригонометрических функций наименьший угол.

Возвращаемся к нашему примеру:

x=±arccos.(32..)+2πn,   arccos.(32..)=5π6.. по таблице

x=±5π6..+2πn, nZ

Ответ: ±5π6..+2πn, nZ

.

Пример: Решить уравнение 2sinx=2

Решение.

Приведем левую часть уравнения к стандартной форме

sinx=a.

Для этого поделим обе части уравнения на число 2:

2sinx=2 /:2

sinx=1

Мы получили частный случай уравнения (таблица).

Готовое решение для нашего уравнения выглядит так:

π2..+2πn.

То есть, при sinx=1   x=π2..+2πn.

Ответ: π2..+2πn, xZ.

.

Пример: Решить уравнение tgx=3.

Решение.

Наше уравнение относится к виду tgx=a.

Выбираем из таблицы формулу для него и решаем:

tgx=3

x=arctg3+πn. arctg3=π3.. по таблице

x=π3..+πn, nZ.

Ответ: π3..+πn, nZ.

.

Пример: Решить уравнение cos5x=1.

Решение.

cos5x=1.

В правой части -1, это частный случай для косинуса (таблица).

5x=2πn

x=2πn5.., nZ.

Ответ: x=2πn5..,nZ..

Пример: Решить уравнение sinx3..=12...

Решение.

sinx3..=12... Применим общую формулу (то есть не частный случай) из таблицы:

x3..=(1)narcsin.(12..)+πn.    arcsin.(12..)=7π6.. по таблице

x3..=(1)n7π6..+πn

x=(1)n37π6..+3πn

x=(1)n7π2..+3πn, nZ.

Ответ: (1)n7π2..+3πn, nZ.

.

Пример: Решить уравнение sin.(2x+π2..)=1.

Решение.

В правой части уравнения 1, значит, мы снова имеем дело с частным случаем синуса, то есть при sinx=1  x=π2..+2πn.

sin.(2x+π2..)=1

2x+π2..=π2..+2πn

2x=π2..π2..+2πn

2x=2π2..+2πn  

2x=π+2πn  /:2

x=π2..+2πn2..

x=π2..+πn, nZ.

Ответ: π2..+πn, nZ.

.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

.

Решить уравнения:

1)2sinx=2
2)3cosx=6
3)ctgx=13..
4)cos(x3..π)=1

.

Просмотров: 0