Тригонометрия

Синус, косинус, тангенс и котангенс числа

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

.

         Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

.

.          Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

.          Косинус угла– отношение прилежащего катета к гипотенузе.

  .

          Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

.          Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

  

          Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, угол С = 90°:

.

.

.

.Тригонометрический круг

 

Тригонометрический круг (или окружность)– это круг (или окружность) единичного радиуса с центром в начале координат.

Такая окружность пересекает ось Х в точках (−1;0) и (1;0), ось У в точках (0;−1) и (0;1).

          На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось Х, ось У и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами (1;0), – то есть от положительного направления оси x, против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A. 

          Рассмотрим ∠SOA, обозначим его за α. Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠SOA=α=⌣SA.

 

.

. Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось Х (точка B) и на ось У (точка С).

 

.

.  Отрезок OB является проекцией отрезка OA на ось Х, отрезок OC является проекцией отрезка OA на ось У.

 

 

           Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB:

Итак, косинус угла – координата точки A по оси Х (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси У (ось ординат).

          Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90°:

 

.

.           Опускаем из точки A перпендикуляры к осям Х и У. Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси Х. Косинус тупого угла отрицательный.

          Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, а рассмотрим только углы от 0° до 180°. Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью Х.  

 

 

           Отметим на этой окружности углы 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°. Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось Х и на ось У.

..

.  

. Ещё одно замечание:

          Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

          Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный.

         Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный.

.

Основное тригонометрическое тождество

 

.

..

  Таблица значений тригонометрических функций

 

..

Простое объяснение синуса и косинуса

Что такое синус и косинус?

Изначально не было никакой окружности. Изучая треугольники, древние ученые выражали углы через соотношение сторон. То есть синусы и косинусы появились раньше градусной меры углов.

https://avatars.mds.yandex.net/get-zen_doc/1898595/pub_60bf9b34cc10d27a0d126e34_60bfabb03d5d2a175044a658/scale_2400

Например, таким соотношением мог выражаться угол A (угол C прямой).

.Поскольку угол может быть найден через разные соотношения сторон, решили дать им названия: синус и косинус.

https://avatars.mds.yandex.net/get-zen_doc/4453741/pub_60bf9b34cc10d27a0d126e34_60bfb2d5df00c7571d01b86f/scale_2400

Синус и косинус прямоугольного треугольника

.

          Синус – это отношение стороны треугольника, лежащей напротив данного угла, к гипотенузе (большей стороне).

          Косинус – это отношение прилежащей стороны к гипотенузе.

          Теперь уместно будет вспомнить теорему Пифагора. Давайте применим её для данного треугольника:

https://avatars.mds.yandex.net/get-zen_doc/4426015/pub_60bf9b34cc10d27a0d126e34_60bfb55876438e156c342fe0/scale_2400

Основное тригонометрическое тождество

Пояснение: делим обе части уравнения на квадрат гипотенузы и делаем замену.

.

Тригонометрическая окружность

https://avatars.mds.yandex.net/get-zen_doc/4080861/pub_60bf9b34cc10d27a0d126e34_60bfbb51731a0e279242c842/scale_2400

Большие числа сложно было показывать на координатной прямой, поэтому математики придумали также поделить окружность на равные части:.

         При переходе через равное расстояние одни и те же точки могут менять свою координату. Например, точка 0 (начало отсчёта) может равняться 16, точка 1 может принимать значение 17 и так далее.

         Идея с бесконечной прямой хороша, но как переводить эти величины в известную нам координатную плоскость?

На помощь приходит определение круга:

.

Проведём два перпендикулярных диаметра круга (это будет условная координатная плоскость), а радиус будет равен 1.

Центр круга будет точкой отсчёта (0) для новых осей.

https://avatars.mds.yandex.net/get-zen_doc/1616946/pub_60bf9b34cc10d27a0d126e34_60bfbe7f731a0e27924c03a1/scale_2400

Координатная плоскость внутри круга

         Далее всё предельно просто:

         1. Выберем любую точку на окружности.
     2. Опустим из этой точки перпендикуляр вниз и соединим её с центром окружности.
https://avatars.mds.yandex.net/get-zen_doc/1945976/pub_60bf9b34cc10d27a0d126e34_60bfc182e9a4e92dd26ce3b4/scale_2400
Синус и косинус на единичной окружности

.           Но почему катеты прямоугольного треугольника подписаны как синус и косинус?

         Обратимся к определению синуса и косинуса – это отношения к гипотенузе. В данном случае наша гипотенуза всегда будет равна 1, а значит, что синусом и косинусом угла будет являться сама сторона треугольника.

Измерения окружности

Буквой «П» принято отмечать Полуокружности.

https://avatars.mds.yandex.net/get-zen_doc/1587710/pub_60bf9b34cc10d27a0d126e34_60bfc43988a596444376f7f9/scale_2400Полуокружность

Если из точки П пройти ещё одну Полуокружность, Вы снова попадете в точку 0, но уже с другим значением – 2П (2 полуокружности).

          Мы можем разбить всю окружность на несколько частей:

https://avatars.mds.yandex.net/get-zen_doc/1704699/pub_60bf9b34cc10d27a0d126e34_60bfc57fda90ce70525763ae/scale_2400
Если разделить полуокружность на четверти
https://avatars.mds.yandex.net/get-zen_doc/4337106/pub_60bf9b34cc10d27a0d126e34_60bfc82904f02f650844d15f/scale_2400.Общий вид тригонометрической окружности

       

           Эти значение НЕ НУЖНО учить. Просто нужно понять, что мы делим Полуокружности на определенное количество частей.

Как найти синус и косинус?

          Для синуса и косинуса достаточно запомнить всего 5 значений:

https://avatars.mds.yandex.net/get-zen_doc/4471998/pub_60bf9b34cc10d27a0d126e34_60bfcadad7c53f09a811ecc3/scale_2400  Где t – точка на окружности
.

.Всё на одной схеме:

.

https://avatars.mds.yandex.net/get-zen_doc/1936066/pub_60bf9b34cc10d27a0d126e34_60bfcb453d5d2a1750a0821e/scale_2400.Горизонтальная ось – косинус, вертикальная ось – синус

.

Просмотров: 0