Тригонометрия

Числовая окружность

Число Пи

Число Пи (обозначается π) – иррациональное число, одна из главных постоянных математики, показывающая во сколько раз длина окружности больше диаметра этой окружности. Значение числа пи равно 3,141593,14159…

Важно сразу понять, что ππ – это просто число. Такое же число как 55, −2−2 или 17,32517,325. Но в отличие от вышеназванных чисел, пи иррационально, то есть не может быть записано в виде конечного ряда цифр. При этом оно настолько часто встречается в математике, что его решили обозначить отдельной буквой, чтоб каждый раз не мучится с записью «3,141593,14159….»

Смысл числа пи весьма прост: возьмите любой предмет с окружностью, например, стакан или колесо велосипеда.

Померяйте длину окружности и диаметр. Теперь поделите первое на второе – предсказываю, что получится примерно 33 или, если точнее, 3,141593,14159…, то есть пи. При этом совершенно не важно, какого размера (читай диаметра) будет эта окружность, потому что при росте диаметра, длина окружности тоже возрастает. И в любом случае длина окружности ровно в 3,141593,14159… раз больше диаметра.

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/e60/e60d3d13e766c497840661981e6c47a2.png

.А вот почему число пи так популярно в математике, вы узнаете, познакомившись с понятием числовая окружность и узнав, как  обозначать точки на ней.

Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют действительным числам, расставленным по следующим правилам:

1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

2) Против часовой стрелки – положительное направление; по часовой – отрицательное;

3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние t, то мы попадем в точку со значением t;

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/7c6/7c6051e6e1d0bbdb0ed5295c4f2743e4.png4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние t, то мы попадем в точку со значением –t...

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/9f8/9f8fbd513efdf1cc4c46249c51f84db8.pngПочему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/f57/f571c1a3f720037613f0bf48339d09eb.png

.

Зачем знать, что такое числовая окружность?

С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.

Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?

 

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/69d/69d16d5352abe96a4aeed607f75790a2.png

Это значит, что радиус этой окружности равен 1. И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках 1 и −1.

Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).

Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы L=2πR мы получим:

Длина числовой окружности равна 2π или примерно 6,28.

А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?

Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» – точка, которая соответствует этому числу.

Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/294/29456d9a8f3930d70d1fcffd79bf20c1.png

Главная цель числовой окружности – каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться..

  Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте 1 на оси X и 0 на окружности – это точки на разных объектах.

Какие точки соответствуют числам 1, 2 и т?

Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен 1? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/a7f/a7f08eeadf3a5d81519b6552eacb097a.png

Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении..

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/6f5/6f5ddcc3139dd8ac152ef0cb9404208c.png

Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу 2, нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы 3 – расстояние равное трем радиусам и т.д.

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/a4f/a4fa4682c5b13ecb9fcdd35afd63182b.png

          При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:

1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?

Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/4d4/4d4f29cef84cbb166bcebe21a3836505.png

 

2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.

.http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/774/7745b97c95f2aff39abe2238c2f147c2.png

         К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: 2π. И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли числа π:  π2..,π2.., 3π2.., 2π. Поэтому при работе с окружностью чаще используют числа с π. Обозначать такие числа гораздо проще.

Основное свойство числовой окружности

 

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/49a/49a38b84befb6d9a7db69cebe3bb0dbc.png

Одному числу на числовой окружности соответствует одна точка, но одной точке соответствует множество чисел

И следствие из этого правила:

Все значения одной точки на числовой окружности можно записать с помощью формулы:

         t0+2πn, nZ,

где t0 – любое значение этой точки.

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/b60/b609129fa13b5d01b71b5d276abd0047.png

..

  Как обозначать числа с ПИ на числовой окружности?

          Обозначаем числа 2π,  π,  π2.., π2..,  3π2...

Как вы уже знаете, радиус числовой окружности равен 1. Значит, длина окружности равняется 2π (вычислили по формуле L=2πR).

С учетом этого отметим 2π на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от 0 по числовой окружности расстояние равно 2π в положительном направлении, а так как длина окружности 2π, то получается, что мы сделаем полный оборот.

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/b3d/b3d708568503c44e3feb266eb92187ef.png

То есть, числу 2π и 0 соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки – это нормально для числовой окружности.

  Теперь обозначим на числовой окружности число π. π – это половина от 2π. Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от 0 в положительном направлении половину окружности.

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/b87/b87c94a8433d26a5eea268765fc157e2.png

.

          Отметим точку π2..

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/307/30763d0326baf05c50e2f9700ba97a51.png           π2.. – это половина от π, следовательно? чтобы отметить это число, нужно от 0 пройти в положительном направлении расстояние равное половине π, то есть четверть окружности.

.          Обозначим на окружности точку  π2...

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/336/3368848ff6b909f245d4485746600139.png

          Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении..

  Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число 3π2... Для этого дробь 32.. переведем в смешанный вид:  32..=112.., т.е. 3π2..=π+π2...

Значит, нужно от 0 в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/ffa/ffad0d1905f58e6648fdfdce5bca3764.png

..

    Обозначаем числа  π4..,   π3..,  π6...

Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями X и Y. Теперь определим положение промежуточных точек.

Для начала нанесем точки  π4..,   π3.. и π6... 

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/c78/c783bc48db2e1039994d3680d2fd04af.png  

π4.. – это половина от  π2.. (то есть,  π4..= π2..:2) , поэтому расстояние  π4.. – это половина четверти окружности.

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/13f/13f24264f11fd38c9dc65e0f5beeb90c.png


π3.. – это треть от π (иначе говоря, π3..=π:3), поэтому расстояние π3.. – это треть от полукруга..

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/e44/e444f34dfa8b1c15ba2a6008780ea56c.pngπ6.. – это половина π3.. (ведь π6..=π3..:2) поэтому расстояние π6..– это половина от расстояния π3...

.

          Вот так они расположены друг относительно друга:

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/282/2826e7bdbb612b47ee763571b746852f.png.

Замечание: Расположение точек со значением 0, π2.. ,π, 3π2.. π4.. π3.. π6..  лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно..

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/4d9/4d98f38678d8c477a055193c07b179a4.png

         Разные расстояние на окружности наглядно:

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/0cb/0cb7807a3a9e7f6ffdaa66e00a7ad905.pnghttp://cos-cos.ru/upload/medialibrary/f6f/f6fb74c473f64c5c16ef1af248746328.pnghttp://cos-cos.ru/upload/medialibrary/189/18918dcfade98a68a29a04dcd1704994.png.

           Обозначаем числа  7π6..,4π3..,  7π4...

          Обозначим на окружности точку  7π6.., для этого выполним следующие преобразования:

  7π6..= 6π+π6..=6π6..+π6..=π+π6...

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/d2f/d2ff2cd6aa98de3fc920e8b24061f7d8.png

          Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние π, а потом еще π6....

  Отметим на окружности точку 4π3... Преобразовываем: 4π3..=3π3..π3..=ππ3...

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/664/66477ed6b3d8531520ad8de91839b80e.png

         Значит надо от 0 пройти в отрицательную сторону расстояние π и еще π3.

         Нанесем точку 7π4.., для этого преобразуем 7π4..=8ππ4..=8π4..π4..=2ππ4... Значит, чтобы поставить точку со значением 7π4.., надо от точки со значением 2π пройти в отрицательную сторону расстояние π4...

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/f6c/f6c44378066073f82c053222147f1b81.png

.

Просмотров: 35