Тригонометрия

Числовая окружность

Число Пи

Число Пи (обозначается π) – иррациональное число, одна из главных постоянных математики, показывающая во сколько раз длина окружности больше диаметра этой окружности. Значение числа пи равно 3,14159…

Важно сразу понять, что ππ – это просто число. Такое же число как 5, −2 или 17,325. Но в отличие от вышеназванных чисел, пи иррационально, то есть не может быть записано в виде конечного ряда цифр. При этом оно настолько часто встречается в математике, что его решили обозначить отдельной буквой, чтоб каждый раз не мучится с записью «3,14159….»

Смысл числа пи весьма прост: возьмите любой предмет с окружностью, например, стакан или колесо велосипеда.

Померяйте длину окружности и диаметр. Теперь поделите первое на второе – предсказываю, что получится примерно 3 или, если точнее, 3,14159…, то есть пи. При этом совершенно не важно, какого размера (читай диаметра) будет эта окружность, потому что при росте диаметра, длина окружности тоже возрастает. И в любом случае длина окружности ровно в 3,14159… раз больше диаметра.

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/e60/e60d3d13e766c497840661981e6c47a2.png

.А вот почему число пи так популярно в математике, вы узнаете, познакомившись с понятием числовая окружность и узнав, как  обозначать точки на ней.

Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют действительным числам, расставленным по следующим правилам:

1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

2) Против часовой стрелки – положительное направление; по часовой – отрицательное;

3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние t, то мы попадем в точку со значением t;

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/7c6/7c6051e6e1d0bbdb0ed5295c4f2743e4.png4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние t, то мы попадем в точку со значением –t...

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/9f8/9f8fbd513efdf1cc4c46249c51f84db8.pngПочему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/f57/f571c1a3f720037613f0bf48339d09eb.png

.

Зачем знать, что такое числовая окружность?

С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.

Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/69d/69d16d5352abe96a4aeed607f75790a2.png

Это значит, что радиус этой окружности равен 1. И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках 1 и −1.

Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).

Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы L=2πR мы получим:

Длина числовой окружности равна 2π или примерно 6,28.

А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?

Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» – точка, которая соответствует этому числу.

Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/294/29456d9a8f3930d70d1fcffd79bf20c1.png

Главная цель числовой окружности – каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться..

  Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте 1 на оси X и 0 на окружности – это точки на разных объектах.

Какие точки соответствуют числам 1, 2 и т?

Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен 1? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/a7f/a7f08eeadf3a5d81519b6552eacb097a.png

Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении..

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/6f5/6f5ddcc3139dd8ac152ef0cb9404208c.png

Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу 2, нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы 3 – расстояние равное трем радиусам и т.д.

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/a4f/a4fa4682c5b13ecb9fcdd35afd63182b.png

          При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:

1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?

Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/4d4/4d4f29cef84cbb166bcebe21a3836505.png

2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.

.http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/774/7745b97c95f2aff39abe2238c2f147c2.png

         К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: 2π. И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли числа π:  π2..,π2.., 3π2.., 2π. Поэтому при работе с окружностью чаще используют числа с π. Обозначать такие числа гораздо проще.

Основное свойство числовой окружности

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/49a/49a38b84befb6d9a7db69cebe3bb0dbc.png

Одному числу на числовой окружности соответствует одна точка, но одной точке соответствует множество чисел

И следствие из этого правила:

Все значения одной точки на числовой окружности можно записать с помощью формулы:

         t0+2πn, nZ,

где t0 – любое значение этой точки.

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/b60/b609129fa13b5d01b71b5d276abd0047.png

..

  Как обозначать числа с ПИ на числовой окружности?

          Обозначаем числа 2π,  π,  π2.., π2..,  3π2...

Как вы уже знаете, радиус числовой окружности равен 1. Значит, длина окружности равняется 2π (вычислили по формуле L=2πR).

С учетом этого отметим 2π на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от 0 по числовой окружности расстояние равно 2π в положительном направлении, а так как длина окружности 2π, то получается, что мы сделаем полный оборот.

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/b3d/b3d708568503c44e3feb266eb92187ef.png

То есть, числу 2π и 0 соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки – это нормально для числовой окружности.

  Теперь обозначим на числовой окружности число π. π – это половина от 2π. Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от 0 в положительном направлении половину окружности.

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/b87/b87c94a8433d26a5eea268765fc157e2.png

.

          Отметим точку π2..

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/307/30763d0326baf05c50e2f9700ba97a51.png           π2.. – это половина от π, следовательно, чтобы отметить это число, нужно от 0 пройти в положительном направлении расстояние равное половине π, то есть четверть окружности.

.          Обозначим на окружности точку  π2...

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/336/3368848ff6b909f245d4485746600139.png

          Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении..

  Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число 3π2... Для этого дробь 32.. переведем в смешанный вид:  32..=112.., т.е. 3π2..=π+π2...

Значит, нужно от 0 в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/ffa/ffad0d1905f58e6648fdfdce5bca3764.png

..

    Обозначаем числа  π4..,   π3..,  π6...

Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями X и Y. Теперь определим положение промежуточных точек.

Для начала нанесем точки  π4..,   π3.. и π6... 

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/c78/c783bc48db2e1039994d3680d2fd04af.png  

π4.. – это половина от  π2.. (то есть,  π4..= π2..:2) , поэтому расстояние  π4.. – это половина четверти окружности.

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/13f/13f24264f11fd38c9dc65e0f5beeb90c.png

π3.. – это треть от π (иначе говоря, π3..=π:3), поэтому расстояние π3.. – это треть от полукруга..

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/e44/e444f34dfa8b1c15ba2a6008780ea56c.pngπ6.. – это половина π3.. (ведь π6..=π3..:2) поэтому расстояние π6..– это половина от расстояния π3...

.

          Вот так они расположены друг относительно друга:

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/282/2826e7bdbb612b47ee763571b746852f.png.

Замечание: Расположение точек со значением 0, π2.. ,π, 3π2.. π4.. π3.. π6..  лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно..

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/4d9/4d98f38678d8c477a055193c07b179a4.png

         Разные расстояние на окружности наглядно:

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/0cb/0cb7807a3a9e7f6ffdaa66e00a7ad905.pnghttp://cos-cos.ru/upload/medialibrary/f6f/f6fb74c473f64c5c16ef1af248746328.pnghttp://cos-cos.ru/upload/medialibrary/189/18918dcfade98a68a29a04dcd1704994.png.

           Обозначаем числа  7π6..,4π3..,  7π4...

          Обозначим на окружности точку  7π6.., для этого выполним следующие преобразования:

  7π6..= 6π+π6..=6π6..+π6..=π+π6...

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/d2f/d2ff2cd6aa98de3fc920e8b24061f7d8.png

          Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние π, а потом еще π6....

  Отметим на окружности точку 4π3... Преобразовываем: 4π3..=3π3..π3..=ππ3...

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/664/66477ed6b3d8531520ad8de91839b80e.png

         Значит надо от 0 пройти в отрицательную сторону расстояние π и еще π3.

         Нанесем точку 7π4.., для этого преобразуем 7π4..=8ππ4..=8π4..π4..=2ππ4... Значит, чтобы поставить точку со значением 7π4.., надо от точки со значением 2π пройти в отрицательную сторону расстояние π4...

http://cos-cos.ru/upload/medialibrary/f6c/f6c44378066073f82c053222147f1b81.png

.

Просмотров: 42