Число Пи

Число Пи (обозначается π) – иррациональное число, одна из главных постоянных математики, показывающая во сколько раз длина окружности больше диаметра этой окружности. Значение числа пи равно 3,14159…

Важно сразу понять, что ππ – это просто число. Такое же число как 5, −2 или 17,325. Но в отличие от вышеназванных чисел, пи иррационально, то есть не может быть записано в виде конечного ряда цифр. При этом оно настолько часто встречается в математике, что его решили обозначить отдельной буквой, чтоб каждый раз не мучится с записью «3,14159….»

Смысл числа пи весьма прост: возьмите любой предмет с окружностью, например, стакан или колесо велосипеда.

Померяйте длину окружности и диаметр. Теперь поделите первое на второе – предсказываю, что получится примерно 3 или, если точнее, 3,14159…, то есть пи. При этом совершенно не важно, какого размера (читай диаметра) будет эта окружность, потому что при росте диаметра, длина окружности тоже возрастает. И в любом случае длина окружности ровно в 3,14159… раз больше диаметра.

.А вот почему число пи так популярно в математике, вы узнаете, познакомившись с понятием числовая окружность и узнав, как  обозначать точки на ней.

Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют действительным числам, расставленным по следующим правилам:

1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

2) Против часовой стрелки – положительное направление; по часовой – отрицательное;

3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние t, то мы попадем в точку со значением t;

4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние t, то мы попадем в точку со значением –t...

Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.

.

Зачем знать, что такое числовая окружность?

С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.

Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?

Это значит, что радиус этой окружности равен 1. И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках 1 и −1.

Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).

Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы L=2πR мы получим:

Длина числовой окружности равна 2π или примерно 6,28.

А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?

Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» – точка, которая соответствует этому числу.

Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?

Главная цель числовой окружности – каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться..

  Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте 1 на оси X и 0 на окружности – это точки на разных объектах.

Какие точки соответствуют числам 1, 2 и т.д?

Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен 1? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.

Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении..

Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу 2, нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы 3 – расстояние равное трем радиусам и т.д.

          При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:

1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?

Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.

2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.

.

         К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: 2π. И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли числа π:  $\frac{\pi }{2}$,$-\frac{\pi }{2}$, $\frac{3\pi }{2},$2π. Поэтому при работе с окружностью чаще используют числа с π. Обозначать такие числа гораздо проще.

Основное свойство числовой окружности

Одному числу на числовой окружности соответствует одна точка, но одной точке соответствует множество чисел

И следствие из этого правила:

Все значения одной точки на числовой окружности можно записать с помощью формулы:

         $t_0+2\pi n,n\in Z$,

где $t_0$ – любое значение этой точки.

..

  Как обозначать числа с ПИ на числовой окружности?

          Обозначаем числа $2\pi ,\pi ,$ $\frac{\pi }{2}$,$-\frac{\pi }{2}$, $\frac{3\pi }{2}$.

Как вы уже знаете, радиус числовой окружности равен 1. Значит, длина окружности равняется 2π (вычислили по формуле L=2πR).

С учетом этого отметим 2π на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от 0 по числовой окружности расстояние равно 2π в положительном направлении, а так как длина окружности 2π, то получается, что мы сделаем полный оборот.

То есть, числу 2π и 0 соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки – это нормально для числовой окружности.

  Теперь обозначим на числовой окружности число π. π – это половина от 2π. Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от 0 в положительном направлении половину окружности.

.

          Отметим точку $\frac{\pi }{2}$. 

           $\frac{\pi }{2}$ – это половина от π, следовательно, чтобы отметить это число, нужно от 0 пройти в положительном направлении расстояние равное половине π, то есть четверть окружности.

.          Обозначим на окружности точку  $-\frac{\pi }{2}$.

          Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении..

  Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число $\frac{3\pi }{2}$. Для этого дробь $\frac{3}{2}$ переведем в смешанный вид:  $\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$, т.е. $\frac{3\pi }{2}=\pi +\frac{\pi }{2}$.

Значит, нужно от 0 в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.

..

    Обозначаем числа  $\frac{\pi }{4}$,   $\frac{\pi }{3}$, $\frac{\pi }{6}$.

Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями X и Y. Теперь определим положение промежуточных точек.

Для начала нанесем точки  $\frac{\pi }{4}$,   $\frac{\pi }{3}$ и$\frac{\pi }{6}$. 

$\frac{\pi }{4}$– это половина от  $\frac{\pi }{2}$ (то есть,  $\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}:2$) , поэтому расстояние  $\frac{\pi }{4}$ – это половина четверти окружности.

$\frac{\pi }{3}$ – это треть от π (иначе говоря,$\frac{\pi }{3}=\pi :3$), поэтому расстояние $\frac{\pi }{3}$ – это треть от полукруга..

$\frac{\pi }{6}$ – это половина $\frac{\pi }{3}$ (ведь $\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}:2$) поэтому расстояние $\frac{\pi }{6}$– это половина от расстояния $\frac{\pi }{3}$.

.

          Вот так они расположены друг относительно друга:

.

Замечание: Расположение точек со значением 0, $\frac{\pi }{2}$ ,π, $\frac{3\pi }{2}$ , $\frac{\pi }{4}$ , $\frac{\pi }{3}$ , $\frac{\pi }{6}$  лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно..

         Разные расстояние на окружности наглядно:

.

           Обозначаем числа  $\frac{7\pi }{6}$, – $\frac{4\pi }{3}$, $\frac{7\pi }{4}$.

          Обозначим на окружности точку  $\frac{7\pi }{6}$, для этого выполним следующие преобразования:

  $\frac{7\pi }{6}=\frac{6\pi +\pi }{6}=\frac{6\pi }{6}+\frac{\pi }{6}=\pi +\frac{\pi }{6}$.

          Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние π, а потом еще $\frac{\pi }{6}$..

  Отметим на окружности точку $-\frac{4\pi }{3}$. Преобразовываем: $-\frac{4\pi }{3}=-\frac{3\pi }{3}-\frac{\pi }{3}=-\pi -\frac{\pi }{3}$.

         Значит надо от 0 пройти в отрицательную сторону расстояние π и еще $\frac{\pi }{3}$.

         Нанесем точку $\frac{7\pi }{4}$, для этого преобразуем $\frac{7\pi }{4}=\frac{8\pi -\pi }{4}=\frac{8\pi }{4}-\frac{\pi }{4}=2\pi -\frac{\pi }{4}$. Значит, чтобы поставить точку со значением $\frac{7\pi }{4}$, надо от точки со значением 2π пройти в отрицательную сторону расстояние $\frac{\pi }{4}$.

.