Градусная и радианная меры угла

Углы можно измерять как в градусах, так и в радианах.

Вспомним, как отмечают точки со значениями соответствующих величин углов на тригонометрической окружности:

..

Теперь вспомним, как выглядит готовая таблица некоторых значений углов тригонометрических функций:

.

.

Первый горизонтальный ряд данной таблицы содержит значения углов в градусах, а второй – соответствующие значения в радианах. То есть 0⁰ соответствует значение 0 радиан, 30⁰ – значение $\frac{\pi }{6}$ и т.д.

Как же получают эти соответствия? Для этого применяют два правила:

А теперь, вооружившись этими двумя правилами, давайте проверим истинность соответствия некоторых углов в таблице.

Возьмем для примера пару значений: 30⁰ и $\frac{\pi }{6}$:

Еще пример.

Возьмем теперь пару значений: 120⁰ и $\frac{2\pi }{3}$.

.         С одним из этих тождеств мы уже познакомились, когда рассматривали основные понятия тригонометрических функций sina, cosa, tga и ctga:

.

.

.

Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую..

Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sinа), косинуса (cosа), тангенса (tgа) и котангенса (ctgа).

Формулы связи тригонометрических функций

Внимание! Эти формулы работают, только если аргументы у тригонометрических функций одинаковые, т.е.

.

.

 но

.

Все формулы связи тригонометрических функций учить не надо, потому что они достаточно легко получаются друг из друга несложными преобразованиями. Кроме того, при частом использовании они постепенно запоминаются сами.

Примеры применения формул связи

Зачем нужны формулы связи? Они позволяют найти все тригонометрические функции угла, если известна лишь одна из них, а также дают возможность упрощать выражения, доказывать тождества, решать тригонометрические уравнения, заменяя одну функцию другой и так далее.

Пример: Найти $5sin\alpha$, если $cos\alpha =\frac{2\sqrt{6}}{5}$ и $\alpha \in \left(\frac{3\pi }{2};2\pi \right)$.

Решение. Нам известен косинус, найти надо синус. А что связывает синус и косинус? Основное тригонометрическое

тождество: ${sin}^2\alpha +{cos}^2\alpha =1$

Подставим вместо косинуса его значение: ${sin}^2\alpha +{\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)}^2=1$

${sin}^2\alpha +\frac{4\bullet 6}{25}=1;{sin}^2\alpha +\frac{24}{25}=1$; ${sin}^2\alpha =1-\frac{24}{25};$

${sin}^2\alpha =\frac{1}{25};sin\alpha =\pm \sqrt{\frac{1}{25}};sin\alpha =\pm \frac{1}{5}.$   

Внимание! Последняя запись – место, где большинство допускает ошибку. Мы получаем не $\frac{1}{5}$ , а  $\pm \frac{1}{5}$ , так как квадратный (четный) корень всегда имеет два решения в уравнениях $(\pm )$.

Вернемся к задаче. Получилось, что синус может иметь значения + $\frac{1}{5}$ , а может и $-\frac{1}{5}$. И какое значение нам надо выбрать – с минусом или плюсом?

Тут нам на помощь приходит информация, что $\alpha \in \left(\frac{3\pi }{2};2\pi \right)$.

Давайте нарисуем числовую окружность и отметим отрезок $\left(\frac{3\pi }{2};2\pi \right)$..

  Обратите внимание – в этой четверти синус принимает только отрицательные значения (можно провести перпендикуляры до оси синусов и убедиться, что это так).

.

  Значит, в нашем случае $sin\alpha =-\frac{1}{5}$ , то есть

        $5sin\alpha =5\bullet (-\frac{1}{5})=-1.$   

Ответ: -1.

Пример: Найти $tg\alpha$, если $cos\alpha =\frac{\sqrt{10}}{10}$  и $\alpha \in \left(\frac{3\pi }{2};2\pi \right)$.

Решение. Есть 2 варианта решения этой задачи:

1) напрямую вычислить тангенс через формулу ${tg}^2\alpha +1=\frac{1}{{cos}^2\alpha }$;

2) сначала с помощью тождества ${sin}^2\alpha +{cos}^2\alpha =1$ найти $sin\alpha$, а потом через формулу $tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }$ получить тангенс.

В учебниках обычно решают 1-м способом, а мы решим вторым.

Вычисляем синус:  ${sin}^2\alpha +{\left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)}^2=1$; ${sin}^2\alpha +\frac{10}{100}=1;$

${sin}^2\alpha +\frac{1}{10}=1$; ${sin}^2\alpha =1-\frac{1}{10};$

${sin}^2\alpha =\frac{9}{10};sin\alpha =\pm \sqrt{\frac{9}{10}};sin\alpha =\pm \frac{3}{\sqrt{10}}.$  

И снова $\alpha \in \left(\frac{3\pi }{2};2\pi \right)$, значит, в итоге синус может быть только отрицательным. То есть, $sin\alpha =-\frac{3}{\sqrt{10}}.$  

А теперь вычисляем тангенс: $tg\alpha =-\frac{3}{\sqrt{10}}:\frac{\sqrt{10}}{10}=-\frac{3}{\sqrt{10}}\bullet \frac{10}{\sqrt{10}}=$

$=-\frac{30}{10}=-3$.

Ответ: –3.

Пример: Известно, что $tg\alpha =-\frac{3}{4}$  и $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$. Найти значения трех других тригонометрических функций угла α.

Решение. Проще всего из тангенса найти котангенс: $ctg\alpha =\frac{1}{tg\alpha }$.

$ctg\alpha =1:\left(-\frac{3}{4}\right)=1\bullet \left(-\frac{4}{3}\right)=-\frac{4}{3}$.

Теперь вычислим косинус по упомянутой выше формуле:

${tg}^2\alpha +1=\frac{1}{{cos}^2\alpha }$; ${\left(-\frac{3}{4}\right)}^2+1=\frac{1}{{cos}^2\alpha }$; $\frac{9}{16}+1=\frac{1}{{cos}^2\alpha }$;

$\frac{9+16}{16}=\frac{1}{{cos}^2\alpha }$; $\frac{25}{16}=\frac{1}{{cos}^2\alpha }$; ${cos}^2\alpha =\frac{16}{25}$; $cos\alpha =\pm \frac{4}{5}$.

Опять перед нами стоит выбор плюс или минус. Отметим отрезок $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ на тригонометрической окружности и посмотрим, какие значения принимает косинус в этой четверти, чтобы определится со знаком.

..

.

  Очевидно, что косинус отрицателен в этой четверти, а значит $cos\alpha =-\frac{4}{5}$.

Осталось найти синус: ${sin}^2\alpha +{cos}^2\alpha =1$; ${sin}^2\alpha +{\left(-\frac{4}{5}\right)}^2=1$;

${sin}^2\alpha +\frac{16}{25}=1$; ${sin}^2\alpha =1-\frac{16}{25}$; ${sin}^2\alpha =\frac{9}{25}$; $sin\alpha =\pm \frac{3}{5}$ .

Опять используем круг, чтобы определить знак.

.

Получается, что $sin\alpha =\frac{3}{5}$.

Ответ: $ctg\alpha =-\frac{4}{3}$; $cos\alpha =-\frac{4}{5};sin\alpha =\frac{3}{5}$.

.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Найдите значения остальных тригонометрических функций

($sin\alpha ,cos\alpha .ctg\alpha )$, если $tg\alpha =\frac{15}{8}$ и $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$.

.