Прежде, чем перейти к рассмотрению данной темы, вспомним основы тригонометрии.

.Рис. 1

3) И синус, и косинус принимают значения от -1 до 1.

Значение тангенса угла $\alpha$ тоже легко найти, поделив $sin\alpha$ на $cos\alpha$.

А, чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус:

$tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha },ctg\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha }$

...Рис. 2

.

На Рис. 3 изображены два угла, они равны по абсолютному значению, но имеют противоположный знак. Отметим для каждого из углов его синус и косинус на осях.

.Рис. 3

Что мы видим? А вот что: Синусы у углов  α и −α противоположны по знаку!

Тогда если $sin\alpha =y$, 

то $\sin .\left(-\alpha \right)=-y$

$\sin .\left(-\alpha \right)=-sin\alpha$.

Косинусы у углов α и −α  совпадают!

Тогда, если $cos\alpha =x$,
то и $cos.(-\alpha )=x$,
$cos.(-\alpha )=cos\alpha$Так как $tg\left(-\alpha \right)=\frac{\sin .\left(-\alpha \right)}{\cos .\left(-\alpha \right)}=\frac{-sin.\alpha }{cos.\alpha },$

то $tg\left(-\alpha \right)=-tg\alpha$

Так как $ctg\left(-\alpha \right)=\frac{\cos .\left(-\alpha \right)}{\sin .\left(-\alpha \right)}=\frac{cos.\alpha }{-asin.\alpha },$

то $ctg\left(-\alpha \right)=-ctg\alpha$.
Таким образом, мы всегда можем избавиться от отрицательного знака внутри любой тригонометрической функции: либо просто уничтожив его, как у косинуса, либо поставив его перед функцией, как у синуса, тангенса и котангенса.

Вспомним, как называется функция f(x), у которой для любого допустимого x выполняется: равенство f(−x)=−f(x)?

Такая функция называется нечетной.

А если же для любого допустимого x выполняется: f(−x)=f(x)?

То в таком случае функция называется четной.

Таким образом, мы убедились, что:

Синус, тангенс и котангенс – нечетные функции, а косинус – четная.

Таким образом, нет никакой разницы, ищем ли мы синус от положительного угла или отрицательного: справиться с минусом очень просто. Так что нам не нужны таблицы значений углов тригонометрических функций отдельно для отрицательных углов.

.

Мы уже знаем, что для любого числа х выполняются равенства:

$\sin .\left(x-2\pi \right)=sinx=\sin .\left(x+2\pi \right);$

$\cos .\left(x-2\pi \right)=cosx=\cos .\left(x+2\pi \right).$

Это указывает на то, что значения функций синус и косинус периодически повторяются при изменении аргумента на $2\pi$.

Функции  $y=sinx$ и $y=cosx$ являются примерами периодических функций.

.

Определение. Функцию f называют периодической, если существует такое число $T\ne 0$, что для любого x из области определения функции f выполняются равенства

$f\left(x-T\right)=f\left(x\right)=f\left(x+T\right).$

  Число Т называют периодом функции f.

.

Мы также знаем, что для любого x из области определения функций

 $y=tgx$ и $y=ctgx$  выполняются равенства:

$tg\left(x-\pi \right)=tgx=tg\left(x+\pi \right)$

$ctg\left(x-\pi \right)=ctgx=ctg\left(x+\pi \right).$

Тогда из определения периодической функции следует, что тангенс и котангенс являются периодическими функциями с периодом $\pi$.

Можно показать, что если функция f имеет период T, то любое из чисел 2T, 3T …., и любое из чисел –T, -2T, -3T… также является ее периодом.

Из этого свойства следует, что каждая периодическая функция имеет бесконечно много периодов.

Например, любое число вида $2\pi n,n\in Z,n\ne 0,$ является периодом функций $y=sinx$  и $y=cosx$; а любое число вида $\pi n,n\in Z,n\ne 0,$ является периодом функции $y=tgx.$ 

Если среди всех периодов функции f существует наименьший положительный период, то его называют главным периодом функции f. 

Теорема. Главным периодом функций $y=sinx$ и $y=cosx$ является число $2\pi .$ Главным периодом функций $y=tg$ и $y=ctgx$ является число $\pi .$

На Рис. 4 изображен график некоторой периодической

функции f с периодом T, D(f)=R (R – множество всех действительных чисел).

Рис. 4

Фрагменты графика этой функции на промежутках [0;T], [T;2T], [2T;3T] и т.д., а также на промежутках [-T;0], [-2T;-T], [-3T;-2T] и т.д. являются равными фигурами, причем каждую из них можно получить из любой другой параллельным переносом на вектор с координатами (nT;0), где n – некоторое целое число

.

Пример:

На Рис. 5 изображен фрагмент графика периодической функции, период которой равен Т. Построить график этой функции на промежутке $[-\frac{3T}{2};\frac{5T}{2}]$.

Рис. 5

Решение.

Построим образы изображенной фигуры, полученные в результате параллельного переноса на векторы с координатами (Т; 0), (2Т; 0) и (-Т; 0). Объединение данной фигуры и полученных образов — искомый график (Рис.6).

.Рис. 6

Рассмотрим функцию $y=sinx$ на промежутке [0;2$\pi$], то есть на промежутке длиной в период этой функции.

При повороте точки $P_0(1;0)$ вокруг начала координат на углы от 0 до $\frac{\pi }{2}$ большему углу поворота соответствует точка единичной окружности с большей ординатой (Рис. 7).

.Рис. 7

Это означает, что функция $y=sinx$ возрастает на промежутке [0;$\frac{\pi }{2}].$

При повороте точки $P_0(1;0)$ на углы от $\frac{\pi }{2}$ до $\frac{3\pi }{2}$ большему углу поворота соответствует точка единичной окружности с меньшей ординатой (Рис. 7).

Следовательно, функция $y=sinx$ убывает на промежутке [$\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}]$.

При повороте точки $P_0(1;0)$ на углы от $\frac{3\pi }{2}$ до $2\pi$ большему углу поворота соответствует точка единичной окружности с большей ординатой (Рис. 7).

Следовательно, функция $y=sinx$ возрастает на промежутке [$\frac{3\pi }{2};2\pi ]$.

Функция $y=sinx$ на промежутке $[0;2\pi ]$ имеет три нуля

$x=0,x=\pi ,x=2\pi .$

Если $x\in (0;\pi )$, то $sinx>0$, если $x\in (\pi ;2\pi )$, то $sinx<0.$

Функция $y=sinx$ на промежутке $[0;2\pi ]$ достигает наибольшего значения, равного 1, при $x=\frac{\pi }{2}$ ,

а наименьшего значения, равного -1, при $x=\frac{3\pi }{2}.$

Функция $y=sinx$ на промежутке $[0;2\pi ]$ принимает все значения из промежутка [-1;1].

Полученные свойства функции $y=sinx$ позволяют построить график на промежутке $[0;2\pi ]$ (Рис. 8).

.Рис. 8

График можно построить точнее, если воспользоваться данными таблицы значений тригонометрических функций некоторых углов.

На всей области определения график функции $y=sinx$ можно получить из построенного графика с помощью параллельных переносов на векторы с координатами $\left(2\pi n;0\right),n\in Z\left(Z-множествоцелыхчисел\right)$ (Рис. 9).

.Рис. 9

График функции $y=sinx$ называют синусоидой. Рассмотрим функцию y$=cos$x.

Если воспользоваться формулой  c$osx=si\mathrm{n(x+}$$\frac{\pi }{2}$), то становится понятно, что график функции $y=cosx$ можно получить в результате параллельного переноса графика функции $y=sinx$ на вектор с координатами $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$(Рис. 10).

.Рис. 10

Это означает, что графики функций y=sinx  и 

 y=cosx – равные фигуры. График функции y=cosx называют косинусоидой (Рис. 11).

.Рис. 11

Рассмотрим функцию $y=tgx$  на промежутке $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$, то есть на промежутке длиной в период этой функции (напомним, что функция $y=tgx$  в точках $-\frac{\pi }{2}$  и $\frac{\pi }{2}$ не определена).

Можно показать, что при изменении угла поворота от  $-\frac{\pi }{2}$  до $\frac{\pi }{2}$ значения тангенса увеличиваются.

Это означает, что функция $y=tgx$ возрастает на промежутке $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$.

Функция  $y=tgx$  на промежутке $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$, имеет один нуль: х = 0. Если $x\in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$, то $tgx<0$; если $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$, то $tgx>0.$    

Полученные свойства функции $y=tgx$ позволяют построить ее график на промежутке $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$ (Рис. 12).

.

.Рис. 12

График можно построить точнее, если  воспользоваться данными таблицы значений тригонометрических функций некоторых углов.

На всей области определения график функции

 y=tgx можно получить из построенного графика с помощью параллельных переносов на векторы с координатами (πn;0), $n\in Z$  (Рис. 13). 

.Рис. 13

График функции y=ctgx изображен на Рис. 14. Этот график может быть получен путем преобразования графика функции  y=tgx.

Рис. 14

.