Тригонометрия

Графики и свойства тригонометрических функций

Прежде, чем перейти к рассмотрению данной темы, вспомним основы тригонометрии.

1)Перевод градусов в радианы и наоборот:

1800=π радиан,    n0=nπ180..

300=30π180..=π6..,   1200=120π180..=2π3..,     

7200=270π180..=3π2.

 и т.д.

π2..=900,   π4..=450,   2π=3600,   3π=5400

и т.д.
.

2) Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси X, а значение синуса — на оси Y.

Тригонометрический круг

.Рис. 1

3) И синус, и косинус принимают значения от -1 до 1.

Значение тангенса угла α тоже легко найти, поделив sinα на cosα.

А, чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус:

tgα=sinαcosα..,   ctgα=cosαsinα..   

4)Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

..https://youclever.gumlet.net/wp-content/uploads/2020/07/trigonometricheskaya-okruzhnost-znaki-raznyh-chetvertej.png?compress=true&quality=70&w=750&dpr=1.0.Рис. 2

.

5)Синус — функция нечётная, косинус — чётная.

На Рис. 3 изображены два угла, они равны по абсолютному значению, но имеют противоположный знак. Отметим для каждого из углов его синус и косинус на осях.

https://youclever.gumlet.net/wp-content/uploads/2020/08/sinus-ot-otritsatelnogo-kosinus-ot-otritsatelnogo-na-okruzhnosti.png?compress=true&quality=70&w=750&dpr=1.0

.Рис. 3

Что мы видим? А вот что: Синусы у углов  α и −α противоположны по знаку!

Тогда если sinα=y

то sin.(α)=y

sin.(α)=sinα.

Косинусы у углов α и −α  совпадают!

Тогда, если cosα=x,
то и cos.(α)=x,
cos.(α)=cosα..Так как tg(α)=sin.(α)cos.(α)..=sin.αcos.α..,

то tg(α)=tgα

Так как ctg(α)=cos.(α)sin.(α)..=cos.αasin.α..,

то ctg(α)=ctgα.
Таким образом, мы всегда можем избавиться от отрицательного знака внутри любой тригонометрической функции: либо просто уничтожив его, как у косинуса, либо поставив его перед функцией, как у синуса, тангенса и котангенса.

Вспомним, как называется функция f(x), у которой для любого допустимого x выполняется: равенство f(−x)=−f(x)?

Такая функция называется нечетной.

А если же для любого допустимого x выполняется: f(−x)=f(x)?

То в таком случае функция называется четной.

Таким образом, мы убедились, что:

Синус, тангенс и котангенс – нечетные функции, а косинус – четная.

Таким образом, нет никакой разницы, ищем ли мы синус от положительного угла или отрицательного: справиться с минусом очень просто. Так что нам не нужны таблицы значений углов тригонометрических функций отдельно для отрицательных углов.

.

6)Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен 2π (см. Рис. 1).
 

Графики и свойства тригонометрических функций

.

Мы уже знаем, что для любого числа х выполняются равенства:

sin.(x2π)=sinx=sin.(x+2π);

cos.(x2π)=cosx=cos.(x+2π).

Это указывает на то, что значения функций синус и косинус периодически повторяются при изменении аргумента на 2π.

Функции  y=sinx и y=cosx являются примерами периодических функций.

.

Определение. Функцию f называют периодической, если существует такое число T0, что для любого x из области определения функции f выполняются равенства

f(xT)=f(x)=f(x+T).

  Число Т называют периодом функции f.

.

Мы также знаем, что для любого x из области определения функций

 y=tgx и y=ctgx  выполняются равенства:

tg(xπ)=tgx=tg(x+π)

ctg(xπ)=ctgx=ctg(x+π).

Тогда из определения периодической функции следует, что тангенс и котангенс являются периодическими функциями с периодом π.

Можно показать, что если функция f имеет период T, то любое из чисел 2T, 3T …., и любое из чисел T, -2T, -3T… также является ее периодом.

Из этого свойства следует, что каждая периодическая функция имеет бесконечно много периодов.

Например, любое число вида 2πn, nZ, n0, является периодом функций y=sinx  и y=cosx; а любое число вида πn, nZ, n0, является периодом функции y=tgx. 

Если среди всех периодов функции f существует наименьший положительный период, то его называют главным периодом функции f

Теорема. Главным периодом функций y=sinx и y=cosx является число 2π. Главным периодом функций y=tg и y=ctgx является число π.

На Рис. 4 изображен график некоторой периодической

функции f с периодом T, D(f)=R (R – множество всех действительных чисел).

Тригонометрические функции с примерами решения

Рис. 4

Фрагменты графика этой функции на промежутках [0;T], [T;2T], [2T;3T] и т.д., а также на промежутках [-T;0], [-2T;-T], [-3T;-2T] и т.д. являются равными фигурами, причем каждую из них можно получить из любой другой параллельным переносом на вектор с координатами (nT;0), где n – некоторое целое число

.

Пример:

На Рис. 5 изображен фрагмент графика периодической функции, период которой равен Т. Построить график этой функции на промежутке [3T2..;5T2..].

Тригонометрические функции с примерами решенияРис. 5

Решение.

Построим образы изображенной фигуры, полученные в результате параллельного переноса на векторы с координатами (Т; 0), (2Т; 0) и (-Т; 0). Объединение данной фигуры и полученных образов — искомый график (Рис.6).

Тригонометрические функции с примерами решения

.Рис. 6

Рассмотрим функцию y=sinx на промежутке [0;2π], то есть на промежутке длиной в период этой функции.

При повороте точки P0(1;0) вокруг начала координат на углы от 0 до π2.. большему углу поворота соответствует точка единичной окружности с большей ординатой (Рис. 7).

Тригонометрические функции с примерами решения

.Рис. 7

Это означает, что функция y=sinx возрастает на промежутке [0;π2..].

При повороте точки P0(1;0) на углы от π2.. до 3π2.. большему углу поворота соответствует точка единичной окружности с меньшей ординатой (Рис. 7).

Следовательно, функция y=sinx убывает на промежутке [π2..;3π2..].

При повороте точки P0(1;0) на углы от 3π2.. до 2π большему углу поворота соответствует точка единичной окружности с большей ординатой (Рис. 7).

Следовательно, функция y=sinx возрастает на промежутке [3π2..;2π].

Функция y=sinx на промежутке [0;2π] имеет три нуля

x=0, x=π, x=2π.

Если x(0;π), то sinx>0, если x(π;2π), то sinx<0.

Функция y=sinx на промежутке [0;2π] достигает наибольшего значения, равного 1, при x=π2.. ,

а наименьшего значения, равного -1, при x=3π2...

Функция y=sinx на промежутке [0;2π] принимает все значения из промежутка [-1;1].

Полученные свойства функции y=sinx позволяют построить график на промежутке [0;2π] (Рис. 8).

Тригонометрические функции с примерами решения

.Рис. 8

График можно построить точнее, если воспользоваться данными таблицы значений тригонометрических функций некоторых углов.

На всей области определения график функции y=sinx можно получить из построенного графика с помощью параллельных переносов на векторы с координатами (2πn;0), nZ (Zмножество целых чисел) (Рис. 9).Тригонометрические функции с примерами решения

.Рис. 9

График функции y=sinx называют синусоидойРассмотрим функцию y=cosx.

Если воспользоваться формулой  cosx=sin(x+π2), то становится понятно, что график функции y=cosx можно получить в результате параллельного переноса графика функции y=sinx на вектор с координатами (π2..;0)(Рис. 10).

Тригонометрические функции с примерами решения

.Рис. 10

Это означает, что графики функций y=sinx  и 

 y=cosx – равные фигуры. График функции y=cosx называют косинусоидой (Рис. 11).

Тригонометрические функции с примерами решения.Рис. 11

Рассмотрим функцию y=tgx  на промежутке (π2..;π2..), то есть на промежутке длиной в период этой функции (напомним, что функция y=tgx  в точках π2..  и π2.. не определена).

Можно показать, что при изменении угла поворота от  π2..  до π2.. значения тангенса увеличиваются.

Это означает, что функция y=tgx возрастает на промежутке (π2..;π2..).

Функция  y=tgx  на промежутке (π2..;π2..), имеет один нуль: х = 0. Если x(π2..;0), то tgx<0; если x(0;π2..), то tgx>0.    

Полученные свойства функции y=tgx позволяют построить ее график на промежутке (π2..;π2..) (Рис. 12).

Тригонометрические функции с примерами решения

.

.Рис. 12

График можно построить точнее, если  воспользоваться данными таблицы значений тригонометрических функций некоторых углов.

На всей области определения график функции

 y=tgx можно получить из построенного графика с помощью параллельных переносов на векторы с координатами (πn;0), nZ  (Рис. 13)

Тригонометрические функции с примерами решения

.Рис. 13

График функции y=ctgx изображен на Рис. 14. Этот график может быть получен путем преобразования графика функции  y=tgx.

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Рис. 14

.

Просмотров: 6