Опубликовано 01.01.2022 | Автор: ttt196969

Повторение

В разделе ПОВТОРЕНИЕ представлены материалы, содержащие ключевые вопросы школьной программы за 1-9, а также за 10-11 классы.

ВИДЫ ЧИСЕЛ

.Рассмотрим каждую группу и подгруппу чисел.

1)Целые числа. В их состав входят:

а) натуральные числа.

Натуральными называют числа, которые используют при перечислении и подсчете объектов, как неодушевленных, так и одушевленных.

Например, нам нужно посчитать количество столов в аудитории. Мы начинаем считать: 1-й стол, 2-й стол, 3-й стол и т.д.

«0» не является натуральным числом, так его не используют при счете объектов.

Примеры натуральных чисел: 1; 2; 3;…;25; 68;…; 183; 574;… и так до бесконечности.

Рассмотрим понятие цифра.

Всего цифр десять: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

Цифры используют для записи любого числа.

Например, для записи натурального числа 35 используют две цифры, такие как «3» и «5».

Еще пример: для записи числа 42098 используют пять цифр: «4», «2», «0», «9», «8».

«2» одновременно называют и числом и цифрой. А вот «61» называют только числом (и для его записи использовали две цифры – «6» и «1»).

б) противоположные натуральным – отрицательные числа.

Пример: -2; -56; -193;………

в) число 0 (ноль).

Итак, если для обозначения натуральных чисел используют латинскую букву n, то общая запись целых чисел будет выглядеть так:

–n; 0; n.

Произвольные примеры целых чисел: 75; -12; 167; -653; 0; 12; 3; 1; -1; и т.д.

2)Дробные числа. В их состав входят:

а) обыкновенные дроби.

Любая обыкновенная дробь имеет следующую форму записи:

$\frac{p}{q}$ $(q \neq 0)$ .

Одна или несколько равных частей единицы называются обыкновенной дробью. Дробь 3/4 означает, что единицу разделили на 4 части и взяли 3 таких части.

Дробь можно рассматривать и как результат деления натуральных чисел. Частное от деления натуральных чисел а и b можно записать в виде дроби a/b — где делимое а — числитель, а делитель b — знаменатель.

Правильная и неправильная дробь.

Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной, а дробь, где числитель больше или равен знаменателю, — неправильной.

Число, состоящее из целой и дробной частей, можно обратить в неправильную дробь. Для этого нужно умножить целую часть на знаменатель и к произведению прибавить числитель данной дроби. Полученная сумма будет числителем дроби, а знаменателем остается знаменатель дробной части.

Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть. Для этого нужно разделить с остатком числитель на знаменатель. Частное от деления — это целая часть, остаток — это числитель, делитель — это знаменатель.

.б) десятичная дробь.

Для записи десятичной дроби используют знак «,», отделяющий целую часть от дробной.

Дробные числа, знаменатель которых равен 10, 100, 1000 и т. д., можно записать не только в виде обыкновенных, но и в виде десятичных дробей.

.Конечные десятичные дроби

Пример: разделим при помощи калькулятора число 5 на 2. Получим на экране калькулятора число 2,5, состоящее из двух цифр, разделенных десятичным знаком «,». После запятой всего одна цифра «5». То есть после вычисления получена конечная запись.

Примеры конечных десятичных дробей: 45,08; 0,2176; -3,1; и т.д.

Бесконечные периодические десятичные дроби

Пример: разделим при помощи калькулятора число 1 на 3.

Получим на экране калькулятора запись 0,3333333333…….

То есть, если бы ширину экрана на калькуляторе можно было бы продолжать до бесконечности, то и количество «3»-ек продолжалось бы так же до бесконечности. Такую дробь называют бесконечной периодической десятичной дробью с периодом, равным «3» и записывают: 0,(3). В скобках указывается период, с которым «3»-ка после запятой повторяется.

Еще пример: 309,501501501….. Здесь периодически повторяются три цифры «5», «0» и «1». Можно так записать нашу дробь 309,(501).

3)Иррациональные числа.

Иррациональные числа еще называют бесконечными непериодическими десятичными дробями.

Этот вид чисел может иметь «непредсказуемую» форму, например: $\sqrt{2}$ , $e$ , $π$ , ${l o g}_{2} 3$ и т.д.

То есть, подобные числа внешне не очень напоминают нам десятичную дробь, но если каждое из них преобразовать или выполнить вычислительную операцию при помощи специального калькулятора, то мы получим знакомую нам запись числа в виде бесконечной (непериодической) десятичной дроби:

$\sqrt{2}$ =1,4142135623095…..

$e =$ 2,71828……

π=3,1415926535…….

${l o g}_{2} 3 =$ 1,584963………

Если вы успели заметить, в каждом числе после «,» цифры не повторяются. Это и есть запись бесконечных непериодических десятичных дробей.

…………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………….

Закрепление изученного материала

Рассмотрим такой пример:

Дано число 2.

К какой группе чисел можно его отнести?

Число 2 можно отнести к натуральным числам.

Помимо этого число 2 можно назвать цифрой.

Число 2 так же относится к целым числам.

И даже к дробным. Если представить его в таком виде, т.е. в виде обыкновенной дроби: $\frac{2}{1}$ . Ведь дробная черта в обыкновенной дроби означает действие «деление», а при делении любого числа на «1», число не меняется по своей сути, а меняет лишь внешний вид записи. $\frac{2}{1}$ является неправильной обыкновенной дробью.

Число 2 можно представить даже в виде десятичной дроби (например, в Excel можно задать формат числа в ячейке с двумя знаками после запятой): 2,00.

Рассмотрим еще один пример:

Число $\frac{5}{12}$ является обыкновенной дробью и входит в группу под названием дробные числа. Но при записи этой дроби использовались числа, которые можно по отдельности назвать как натуральными, так и целыми («5» и «12»). То есть что получается? Получается, что натуральные числа входят в состав целых, а целые включены в группу рациональных.