Тригонометрическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции, например, s$in3x=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Существует два способа решения тригонометрических уравнений:

Первый способ – с использованием формул.

Второй способ – через тригонометрическую окружность.

Тригонометрическая окружность позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы.

.Чтобы уметь решать тригонометрические уравнения необходимо знать как минимум следующее:

.

.

Простейшие тригонометрические уравнения

.

Что же это такое? Является ли, например, уравнение 22x−11=13 тригонометрическим?

Не является! Потому что ни одной тригонометрической функции (sinx,cosx,tgx,ctgx) в нём нет!

А что насчёт вот такого уравнения: sin2x+3x=2?

И опять ответ отрицательный!

Это так называемое уравнение смешанного типа.

Оно содержит как тригонометрическую составляющую, так и линейную (3x).

Тригонометрические уравнения – это уравнения, в которых неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции!

Например:

$6cos2x+5sinx-7=0$

$sin\pi \sqrt{x}=-1$

$35sinx+45cosx=1$

и т.д.

Однако для начала мы не будем решать сложные и иногда неприступные тригонометрические уравнения, а ограничимся самыми простыми уравнениями вида:

.

$sinf\left(x\right)=a$

$cosf\left(x\right)=a$

$tgf\left(x\right)=a$

$ctgf\left(x\right)=a$

.

Где a – некоторое постоянное число, равное, например, $\frac{1}{2},1,-1,\pi ,1-\sqrt{3}$ и т. д.

f(x) – некоторая функция, зависящая от искомой переменной x, например  $f\left(x\right)=x,f\left(x\right)=2-x,f\left(x\right)=\frac{\pi x}{6}$  и т. д.

Такие уравнения называются простейшими.

Основная цель решения ЛЮБОГО тригонометрического уравнения – это свести его к виду простейшего!

.

Тригонометрические уравнения можно решать двумя способами: используя формулы или при помощи тригонометрической окружности.

Мы рассмотрим с вами решение тригонометрических уравнений при помощи формул.

.

$sinx=a$

$cosx=a$

$tgx=a$

$ctgx=a$

.

Я хочу сразу предупредить, будьте внимательны:

Уравнения вида: $sinx=a$  и  $cosx=a$имеют смысл только тогда, когда  $-1\le a\le 1$

Уравнения вида:  $tgx=a$  и  $ctgx=a$   имеют смысл уже при всех значениях a.

То есть, не нужно знать вообще никаких формул, чтобы спокойно ответить, что уравнения, например:

$sinx=500,cos\left(2x-\pi \right)=2,\sin .\left(x-\frac{3\pi }{2}\right)=-\sqrt{3}$

корней не имеют!!! Так как правая часть уравнения содержит числовое значение, не удовлетворяющее условию для синуса и косинуса

$-1\le a\le 1$

Для остальных же случаев мы будем применять тригонометрические формулы, отображенные в этой таблице:

.

.

.На самом деле в этой таблице данных немного больше, чем нужно.

Вам необходимо лишь запомнить первые два её столбца, другие столбцы – частные случаи решения тригонометрических уравнений.

.

Глядя на таблицу, не возникают ли у вас вопросы?

Например, такие:

Что такое n и что такое, например $arcsina,arccosa,arctga,arcctga$?  

Разберем все по порядку:

n – это любое целое число, принадлежащее множеству целых чисел Z (0, 1, −1, 2, −2, …. ).

.

В чем уникальная особенность тригонометрических уравнений перед всеми остальными, которые вы изучал?

ОНИ ИМЕЮТ БЕСКОНЕЧНОЕ МНОЖЕСТВО КОРНЕЙ в ответе!!!

И число n служит для обозначения этой «бесконечности».

Конечно, вместо n можно писать любую другую букву, только не забывайте добавить в ответе: $n\in Z$, что означает, что n – есть любое целое число.

Теперь насчёт арксинуса и других «арков». Вообще, так записываются обратные тригонометрические функции, и понимать, скажем, arcsinα надо как «угол, синус которого равен α».

Например,

$arcsin0=0$

$arccos\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$

$arcsin\frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$

$atctg\sqrt{3}=\frac{\pi }{3}$

Данную тему мы рассматривали с вами на прошлом уроке.

.

Пример: Решить уравнение $sinx=\frac{1}{2}$.

Решение.

Данное уравнение относится к типу $sinx=a$, где $-1\le a\le 1$

Сравним левые и правые части нашего уравнения и стандартного уравнения:

Левые части этих уравнений одинаковые, а в правой части нашего уравнения а принимает значение $\frac{1}{2}$ . Перед тем как выбрать и применить формулу для вычисления корней, проверим, удовлетворяет ли число $\frac{1}{2}$ условию $-1\le a\le 1$?

Да, $\frac{1}{2}<1$. Теперь мы должны выбрать соответствующую формулу вычисления корней. Воспользуемся таблицей.

Итак, для уравнения типа $sinx=a,где-1\le a\le 1$

мы применим формулу $x={\left(-1\right)}^n\cdot arcsina+\pi n$

То есть,

$sinx=\frac{1}{2}$

$x={\left(-1\right)}^n\cdot arcsin\frac{1}{2}+\pi n,$

.Пояснение:  $arcsin\frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$ (по таблице значений углов)

.

$x={\left(-1\right)}^n\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n,n\in Z$

При записи окончательного ответа в конце всегда необходимо добавить условие, при котором найденное решение имеет смысл. В данном (и всех последующих) случае мы добавили в конце $n\in Z$.

Ответ: $x={\left(-1\right)}^n\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n,n\in Z$

.

Пример: Решить уравнение $cosx=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение.

Данное уравнение относится к типу $cosx=a$, где $-1\le a\le 1$

Сравним левые и правые части нашего уравнения и стандартного уравнения:

Левые части этих уравнений одинаковые, а в правой части нашего уравнения а принимает значение $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Перед тем как выбрать и применить формулу для вычисления корней, проверим, удовлетворяет ли число $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ условию $-1\le a\le 1$?

Да, $-\frac{\sqrt{3}}{2}<1$. Теперь мы должны выбрать соответствующую формулу вычисления корней. Воспользуемся таблицей.

Итак, для уравнения типа $cosx=a,где-1\le a\le 1$

мы применим формулу $x=\pm arccosa+2\pi n$

То есть,

$cosx=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$x=\pm arccos.(-\frac{\sqrt{3}}{2})+2\pi n,$

Пояснение:  $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{5\pi }{6}$ (по таблице значений углов)

.

Обратите внимание, что в таблице некоторые числовые значения для одной и той же функции повторяются:

То есть, например, $\cos .\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{5\pi }{6}$ и также $\cos .\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{7\pi }{6}$.

В дальнейшем, во избежание несоответствий в ответах, условимся с вами в подобных ситуациях всегда выбирать из таблицы значений углов тригонометрических функций наименьший угол.

Возвращаемся к нашему примеру:

$x=\pm arccos.(-\frac{\sqrt{3}}{2})+2\pi n$,   $\arccos .\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{5\pi }{6}$ по таблице

$x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi n,n\in Z$

Ответ: $\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi n,n\in Z$

.

Пример: Решить уравнение $2sinx=2$

Решение.

Приведем левую часть уравнения к стандартной форме

$sinx=a$.

Для этого поделим обе части уравнения на число 2:

$2sinx=2$ /:2

$sinx=1$

Мы получили частный случай уравнения (таблица).

Готовое решение для нашего уравнения выглядит так:

$\frac{\pi }{2}+2\pi n.$

То есть, при $sinx=1$   $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n.$

Ответ: $\frac{\pi }{2}+2\pi n,x\in Z.$

.

Пример: Решить уравнение $tgx=\sqrt{3}$.

Решение.

Наше уравнение относится к виду $tgx=a$.

Выбираем из таблицы формулу для него и решаем:

$tgx=\sqrt{3}$

$x=arctg\sqrt{3}+\pi n$. $arctg\sqrt{3}=\frac{\pi }{3}$ по таблице

$x=\frac{\pi }{3}+\pi n,n\in Z.$

Ответ: $\frac{\pi }{3}+\pi n,n\in Z.$

.

Пример: Решить уравнение $cos5x=-1$.

Решение.

$cos5x=-1$.

В правой части -1, это частный случай для косинуса (таблица).

$5x=2\pi n$

$x=\frac{2\pi n}{5},n\in Z.$

Ответ: $x=\frac{2\pi n}{5},n\in Z.\text{.}$

Пример: Решить уравнение $sin\frac{x}{3}=-\frac{1}{2}$.

Решение.

$sin\frac{x}{3}=-\frac{1}{2}$. Применим общую формулу (то есть не частный случай) из таблицы:

$\frac{x}{3}={\left(-1\right)}^n\cdot \arcsin .\left(-\frac{1}{2}\right)+\pi n.$    $\arcsin .\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{7\pi }{6}$ по таблице

$\frac{x}{3}={\left(-1\right)}^n\cdot \frac{7\pi }{6}+\pi n$

$x={\left(-1\right)}^n\cdot \frac{3\cdot 7\pi }{6}+3\cdot \pi n$

$x={\left(-1\right)}^n\cdot \frac{7\pi }{2}+3\pi n,n\in Z.$

Ответ: ${\left(-1\right)}^n\cdot \frac{7\pi }{2}+3\pi n,n\in Z.$

.

Пример: Решить уравнение $\sin .\left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=-1$.

Решение.

В правой части уравнения –1, значит, мы снова имеем дело с частным случаем синуса, то есть при $sinx=-1$  $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n$.

$\sin .\left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=-1$

$2x+\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{2}+2\pi n$

$2x=-\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2}+2\pi n$

$2x=-\frac{2\pi }{2}+2\pi n$  

$2x=-\pi +2\pi n$  /:2

$x=-\frac{\pi }{2}+\frac{2\pi n}{2}$

$x=-\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z.$

Ответ: $-\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z.$

.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

.

Решить уравнения:

.