Тригонометрия
Синус, косинус, тангенс и котангенс числа
Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.
Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус угла– отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).
Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, угол С = 90°:
Тригонометрический круг
Тригонометрический круг (или окружность)– это круг (или окружность) единичного радиуса с центром в начале координат.
Такая окружность пересекает ось Х в точках (−1;0) и (1;0), ось У в точках (0;−1) и (0;1).
На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось Х, ось У и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.
Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами (1;0), – то есть от положительного направления оси x, против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A.
Рассмотрим ∠SOA, обозначим его за α. Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠SOA=α=⌣SA.
Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось Х (точка B) и на ось У (точка С).
Отрезок OB является проекцией отрезка OA на ось Х, отрезок OC является проекцией отрезка OA на ось У.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB:
Итак, косинус угла – координата точки A по оси Х (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси У (ось ординат).
Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90°:
Опускаем из точки A перпендикуляры к осям Х и У. Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси Х. Косинус тупого угла отрицательный.
Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, а рассмотрим только углы от 0° до 180°. Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью Х.
Отметим на этой окружности углы 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°. Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось Х и на ось У.
Ещё одно замечание:
Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.
Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный.
Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный.
Основное тригонометрическое тождество
Таблица значений тригонометрических функций
Простое объяснение синуса и косинуса
Что такое синус и косинус?Изначально не было никакой окружности. Изучая треугольники, древние ученые выражали углы через соотношение сторон. То есть синусы и косинусы появились раньше градусной меры углов.
Например, таким соотношением мог выражаться угол A (угол C прямой).
Поскольку угол может быть найден через разные соотношения сторон, решили дать им названия: синус и косинус.
Синус и косинус прямоугольного треугольника
Синус – это отношение стороны треугольника, лежащей напротив данного угла, к гипотенузе (большей стороне).
Косинус – это отношение прилежащей стороны к гипотенузе.
Теперь уместно будет вспомнить теорему Пифагора. Давайте применим её для данного треугольника:
Основное тригонометрическое тождество
Пояснение: делим обе части уравнения на квадрат гипотенузы и делаем замену.
Тригонометрическая окружность
Большие числа сложно было показывать на координатной прямой, поэтому математики придумали также поделить окружность на равные части:
При переходе через равное расстояние одни и те же точки могут менять свою координату. Например, точка 0 (начало отсчёта) может равняться 16, точка 1 может принимать значение 17 и так далее.
Идея с бесконечной прямой хороша, но как переводить эти величины в известную нам координатную плоскость?
На помощь приходит определение круга:
Проведём два перпендикулярных диаметра круга (это будет условная координатная плоскость), а радиус будет равен 1.
Центр круга будет точкой отсчёта (0) для новых осей.
Координатная плоскость внутри круга
Далее всё предельно просто:
Синус и косинус на единичной окружности
Но почему катеты прямоугольного треугольника подписаны как синус и косинус?
Обратимся к определению синуса и косинуса – это отношения к гипотенузе. В данном случае наша гипотенуза всегда будет равна 1, а значит, что синусом и косинусом угла будет являться сама сторона треугольника.
Измерения окружности
Буквой «П» принято отмечать Полуокружности.
Полуокружность
Если из точки П пройти ещё одну Полуокружность, Вы снова попадете в точку 0, но уже с другим значением – 2П (2 полуокружности).
Мы можем разбить всю окружность на несколько частей:
Если разделить полуокружность на четверти
Общий вид тригонометрической окружности
Эти значение НЕ НУЖНО учить. Просто нужно понять, что мы делим Полуокружности на определенное количество частей.
Как найти синус и косинус?
Для синуса и косинуса достаточно запомнить всего 5 значений:
Где t – точка на окружности
Всё на одной схеме:
Горизонтальная ось – косинус, вертикальная ось – синус
Views: 72
