Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

.

         Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

.

.          Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

.          Косинус угла– отношение прилежащего катета к гипотенузе.

  .

          Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

.          Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

          Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, угол С = 90°:

.

.

.

.Тригонометрический круг

Тригонометрический круг (или окружность)– это круг (или окружность) единичного радиуса с центром в начале координат.

Такая окружность пересекает ось Х в точках (−1;0) и (1;0), ось У в точках (0;−1) и (0;1).

          На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось Х, ось У и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами (1;0), – то есть от положительного направления оси x, против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A. 

          Рассмотрим ∠SOA, обозначим его за α. Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠SOA=α=⌣SA.

.

. Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось Х (точка B) и на ось У (точка С).

.

.  Отрезок OB является проекцией отрезка OA на ось Х, отрезок OC является проекцией отрезка OA на ось У.

           Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB:

Итак, косинус угла – координата точки A по оси Х (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси У (ось ординат).

          Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90°:

.

.           Опускаем из точки A перпендикуляры к осям Х и У. Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси Х. Косинус тупого угла отрицательный.

          Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, а рассмотрим только углы от 0° до 180°. Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью Х.  

           Отметим на этой окружности углы 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°. Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось Х и на ось У.

..

.  

. Ещё одно замечание:

          Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

          Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный.

         Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный.

.

Основное тригонометрическое тождество

.

..

  Таблица значений тригонометрических функций

..