На прошлом уроке мы с вами изучили тригонометрические формулы сложения:

$sin\left(\alpha \pm \beta \right)=sin\alpha \bullet cos\beta \pm cos\alpha \bullet sin\beta$

$cos\left(\alpha \pm \beta \right)=cos\alpha \bullet cos\beta \mp sin\alpha \bullet sin\beta$

$tg\left(\alpha \pm \beta \right)=\frac{tg\alpha \pm tg\beta }{1\mp tg\alpha \bullet tg\beta }$

$ctg\left(\alpha +\beta \right)=\frac{-1\pm ctg\alpha \bullet ctg\beta }{ctg\alpha \pm ctg\beta }=\frac{1\mp tg\alpha \bullet tg\beta }{tg\alpha \pm tg\beta }$

Теперь мы можем вывести формулы двойного угла, исходя из тригонометрических формул сложения:

$sin2\alpha =\sin .\left(\alpha +\alpha \right)=sin\alpha \cdot cos\alpha +cos\alpha \cdot sin\alpha =$

$=sin\alpha \cdot cos\alpha +sin\alpha \cdot cos\alpha =2sin\alpha \cdot cos\alpha$

Таким образом, мы получили формулу двойного угла для синуса:

$sin2\alpha =2sin\alpha \cdot cos\alpha$

Аналогичным образом выводится формула двойного угла для косинуса:

$cos2\alpha =\cos .\left(\alpha +\alpha \right)=cos\alpha \cdot cos\alpha -sin\alpha \cdot sin\alpha ={cos}^2\alpha -{sin}^2\alpha$

То есть

$cos2\alpha ={cos}^2\alpha -{sin}^2\alpha$

Если применить основное тригонометрическое тождество

${{sin}^2\alpha +cos}^2\alpha =1$, то можно получить еще два варианта формулы двойного угла для косинуса, где в первом случае мы выразим синус через косинус, а во втором – косинус через синус:

$cos2\alpha ={cos}^2\alpha -\left(1-{cos}^2\alpha \right)={cos}^2\alpha -1+{cos}^2\alpha =2{cos}^2\alpha -1$

или

$cos2\alpha ={(1-sin}^2\alpha )-{sin}^2\alpha =1-{sin}^2\alpha -{sin}^2\alpha =1-2{sin}^2\alpha$

То есть

$cos2\alpha =2{cos}^2\alpha -1$   или   $cos2\alpha =1-2{sin}^2\alpha$

.

Выведем формулы двойного угла для тангенса и котангенса:

$tg2\alpha =tg\left(\alpha +\alpha \right)=\frac{tg\alpha +tg\alpha }{1-tg\alpha \cdot tg\alpha }=\frac{2tg\alpha }{1-{tg}^2\alpha }$

$ctg2\alpha =ctg\left(\alpha +\alpha \right)=\frac{1-tg\alpha \cdot tg\alpha }{tg\alpha +tg\alpha }=\frac{1-{tg}^2\alpha }{2tg\alpha }$

То есть

$tg2\alpha =\frac{2tg\alpha }{1-{tg}^2\alpha }$       $ctg2\alpha =\frac{1-{tg}^2\alpha }{2tg\alpha }$

Итак, мы получили с вами формулы двойного угла для тригонометрических функций:

$sin2\alpha =2sin\alpha \cdot cos\alpha$

$cos2\alpha ={cos}^2\alpha -{sin}^2\alpha$

$tg2\alpha =\frac{2tg\alpha }{1-{tg}^2\alpha }$

$ctg2\alpha =\frac{1-{tg}^2\alpha }{2tg\alpha }$

.

Пример: Вычислить $sin2\alpha$ и $tg2\alpha$, если $sin\alpha =0,8,\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$.

Решение.

Угол $\alpha$ во II-й четверти, значит, косинус и тангенс имеют отрицательный знак (-).

Из основного тригонометрического тождества ${{sin}^2\alpha +cos}^2\alpha =1$ получаем:

$cos\alpha =-\sqrt{1-{sin}^2\alpha }=-\sqrt{1-{0,8}^2}=-0,6$ .

Из основного тригонометрического тождества $tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }$ получаем:

$tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=\frac{0,8}{-0,6}=-\frac{4}{3}$

Из формулы синуса двойного угла $sin2\alpha =2sin\alpha \cdot cos\alpha$ находим

$sin2\alpha =2sin\alpha \cdot cos\alpha =2\cdot 0,8\cdot \left(-0,6\right)=-0,96$

Из формулы тангенса двойного угла $tg2\alpha =\frac{2tg\alpha }{1-{tg}^2\alpha }$ находим

$tg2\alpha =\frac{2tg\alpha }{1-{tg}^2\alpha }=\frac{2\cdot \left(-\frac{4}{3}\right)}{1-{\left(-\frac{4}{3}\right)}^2}=\frac{-\frac{8}{3}}{1-\frac{16}{9}}=\frac{-\frac{8}{3}}{\frac{9}{9}-\frac{16}{9}}=$

$=\frac{-\frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}}=\frac{8}{3}\cdot \frac{9}{7}=\frac{24}{7}=3\frac{3}{7}$

Ответ: -0,96, $3\frac{3}{7}$ .

.

Пример: Вычислить $2sin{15}^0\cdot cos{15}^0$.

Решение.

Применим формулу синуса двойного угла $sin2\alpha =2sin\alpha \cdot cos\alpha$ :

$2sin{15}^0\cdot cos{15}^0=sin\left(2\cdot {15}^0\right)=sin{30}^0=\frac{1}{2}$ (таблица значений углов)

Ответ: $\frac{1}{2}$ .

.

Пример:  Преобразовать выражение $cos6\alpha$, используя тригонометрическую формулу двойного угла.

Решение.

По формуле косинуса двойного угла $cos2\alpha ={cos}^2\alpha -{sin}^2\alpha$ получим:

$cos6\alpha ={cos}^{2}3\alpha -{sin}^{2}3\alpha$

Ответ: ${cos}^{2}3\alpha -{sin}^{2}3\alpha .$

.

Пример: Преобразовать выражение $sin\alpha$, используя тригонометрическую формулу двойного угла.

Решение.

По формуле синуса двойного угла $sin2\alpha =2sin\alpha \cdot cos\alpha$ получим:

$sin\alpha =2sin\frac{\alpha }{2}\cdot cos\frac{\alpha }{2}$

Ответ: $2sin\frac{\alpha }{2}\cdot cos\frac{\alpha }{2}.$

.

Пример: Вычислить $2{cos}^2\frac{\pi }{12}-1.$

Решение.

По одной из формул косинуса двойного угла $cos2\alpha =2{cos}^2\alpha -1$ получим:

$2{cos}^2\frac{\pi }{12}-1=cos\frac{2\pi }{12}=cos\frac{\pi }{6}=\surd 32..$ (таблица значений углов).

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}.$

.

Пример: Найти значение выражения $\frac{12sin{11}^0\cdot cos{11}^0}{sin{22}^0}$.

Решение.

Мы не сможем вычислить значения синуса и косинуса ${11}^0и{22}^0$, так как в таблице значений углов эти величины отсутствуют. Мы также, пытаясь упростить выражение, не сможем выполнить сокращение нашей дроби, так как в числителе и знаменателе у функций углы имеют разную величину, то есть ${11}^0и{22}^0$. Поэтому нам в любом случае необходимо вначале привести эти углы к одинаковому градусному значению.

Для знаменателя используем формулу синуса двойного угла $sin2\alpha =2sin\alpha \cdot cos\alpha$:

$sin{22}^0=2sin{11}^0\cdot cos{11}^0$

${}^{}$

${}^{}$

$\frac{12sin{11}^0\cdot cos{11}^0}{sin{22}^0}=\frac{12sin{11}^0\cdot cos{11}^0}{2sin{11}^0\cdot cos{11}^0}$

Теперь сократим дробь на одинаковые выражения и получим результат:

$\frac{12sin{11}^0\cdot cos{11}^0}{2sin{11}^0\cdot cos{11}^0}=\frac{12}{2}=6.$

Ответ: 6.

.

Пример: Найти значение выражения $\sqrt{3}{cos}^2\frac{5\pi }{12}-\sqrt{3}{sin}^2\frac{5\pi }{12}$.

Решение.

В таблице значений углов угол $\frac{5\pi }{12}$

отсутствует. Попробуем изменить значение этого угла при помощи формулы косинуса двойного угла $cos2\alpha =2{cos}^2\alpha -1$ , предварительно освободив наше выражение от $\sqrt{3}$

(выносим его за общую скобку):

$\sqrt{3}{cos}^2\frac{5\pi }{12}-\sqrt{3}{sin}^2\frac{5\pi }{12}=\sqrt{3}\left({cos}^2\frac{5\pi }{12}-{sin}^2\frac{5\pi }{12}\right)=\sqrt{3}cos\left(2\cdot \frac{5\pi }{12}\right)=$

.

$=\sqrt{3}cos\frac{5\pi }{6}=\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{3}{2}=-1\frac{1}{2}$.

  $cos\frac{5\pi }{6}$ вычисляем по таблице значений углов.

Ответ: $-1\frac{1}{2}$.

.

Пример: Найти $16cos2\alpha ,$

если $cos\alpha =\frac{3}{4}$.

Решение.

По формуле косинуса двойного угла $cos2\alpha =2{cos}^2\alpha -1$ получим:

$16cos2\alpha =16\left(2{cos}^2\alpha -1\right)=16\left(2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2-1\right)=16\left(2\cdot \frac{9}{16}-1\right)=$

$=16\left(\frac{9}{8}-\frac{8}{8}\right)=16\cdot \frac{1}{8}=2.$

Ответ: $2$.

.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

.

.