Тригонометрия

Тригонометрические формулы двойного угла

На прошлом уроке мы с вами изучили тригонометрические формулы сложения:

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ

tg(α±β)=tgα±tgβ1tgαtgβ..

ctg(α+β)=1±ctgαctgβctgα±ctgβ..=1tgαtgβtgα±tgβ..

Теперь мы можем вывести формулы двойного угла, исходя из тригонометрических формул сложения:

sin2α=sin.(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=

=sinαcosα+sinαcosα=2sinαcosα

Таким образом, мы получили формулу двойного угла для синуса:

sin2α=2sinαcosα

Аналогичным образом выводится формула двойного угла для косинуса:

cos2α=cos.(α+α)=cosαcosαsinαsinα=cos2αsin2α

То есть

cos2α=cos2αsin2α

Если применить основное тригонометрическое тождество

sin2α+cos2α=1, то можно получить еще два варианта формулы двойного угла для косинуса, где в первом случае мы выразим синус через косинус, а во втором – косинус через синус:

cos2α=cos2α(1cos2α)=cos2α1+cos2α=2cos2α1

или

cos2α=(1sin2α)sin2α=1sin2αsin2α=12sin2α

То есть

cos2α=2cos2α1   или   cos2α=12sin2α

.

Выведем формулы двойного угла для тангенса и котангенса:

tg2α=tg(α+α)=tgα+tgα1tgαtgα..=2tgα1tg2α..

ctg2α=ctg(α+α)=1tgαtgαtgα+tgα..=1tg2α2tgα..

То есть

tg2α=2tgα1tg2α..       ctg2α=1tg2α2tgα..

Итак, мы получили с вами формулы двойного угла для тригонометрических функций:

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos2αsin2α

tg2α=2tgα1tg2α..

ctg2α=1tg2α2tgα..

.

Пример: Вычислить sin2α и tg2α, если sinα=0,8,  π2..<α<π.

Решение.

Угол α во II-й четверти, значит, косинус и тангенс имеют отрицательный знак (-).

Из основного тригонометрического тождества sin2α+cos2α=1 получаем:

cosα=1sin2α=10,82=0,6 .

Из основного тригонометрического тождества tgα=sinαcosα.. получаем:

tgα=sinαcosα..=0,80,6..=43..

Из формулы синуса двойного угла sin2α=2sinαcosα находим

sin2α=2sinαcosα=20,8(0,6)=0,96

Из формулы тангенса двойного угла tg2α=2tgα1tg2α.. находим

tg2α=2tgα1tg2α..=2(43..)1(43..)2..=83..1169....=83..99..169....=

=83..79....=83..97..=247..=337..

Ответ: -0,96, 337.. .

.

Пример: Вычислить 2sin150cos150.

Решение.

Применим формулу синуса двойного угла sin2α=2sinαcosα :

2sin150cos150=sin(2150)=sin300=12..   (таблица значений углов)

Ответ: 12.. .

.

Пример:  Преобразовать выражение cos6α, используя тригонометрическую формулу двойного угла.

Решение.

По формуле косинуса двойного угла cos2α=cos2αsin2α получим:

cos6α=cos23αsin23α

Ответ: cos23αsin23α.

.

Пример: Преобразовать выражение sinα, используя тригонометрическую формулу двойного угла.

Решение.

По формуле синуса двойного угла sin2α=2sinαcosα получим:

sinα=2sinα2..cosα2..

Ответ: 2sinα2..cosα2...

.

Пример: Вычислить 2cos2π12..1.

Решение.

По одной из формул косинуса двойного угла cos2α=2cos2α1 получим:

2cos2π12..1=cos2π12..=cosπ6..=32..
 (таблица значений углов).

Ответ: 32...

.

Пример: Найти значение выражения 12sin110cos110sin220...

Решение.

Мы не сможем вычислить значения синуса и косинуса 110 и 220, так как в таблице значений углов эти величины отсутствуют. Мы также, пытаясь упростить выражение, не сможем выполнить сокращение нашей дроби, так как в числителе и знаменателе у функций углы имеют разную величину, то есть 110 и 220. Поэтому нам в любом случае необходимо вначале привести эти углы к одинаковому градусному значению.

Для знаменателя используем формулу синуса двойного угла sin2α=2sinαcosα:

sin220=2sin110cos110

Далее подставим полученное выражение в знаменатель

нашей дроби и получим:

12sin110cos110sin220..=12sin110cos1102sin110cos110..

Теперь сократим дробь на одинаковые выражения и получим результат:

12sin110cos1102sin110cos110..=122..=6.

Ответ: 6.

.

Пример: Найти значение выражения 3cos25π12..3sin25π12...

Решение.

В таблице значений углов угол 5π12..

отсутствует. Попробуем изменить значение этого угла при помощи формулы косинуса двойного угла  cos2α=2cos2α1 , предварительно освободив наше выражение от 3

(выносим его за общую скобку):

3cos25π12..3sin25π12..=3(cos25π12..sin25π12..)=3cos(25π12..)=

.

=3cos5π6..=3(32..)=32..=112...

  cos5π6.. вычисляем по таблице значений углов.

Ответ: 112...

.

Пример: Найти 16cos2α,

если cosα=34..

Решение.

По формуле косинуса двойного угла cos2α=2cos2α1 получим:

16cos2α=16(2cos2α1)=16(2(34..)21)=16(2916..1)=

=16(98..88..)=1618..=2.

Ответ: 2.

.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

.

1)Вычислить cos2α, если sinα=27..,  3π2..<α<2π.
2)Вычислить 2sin22,50cos22,50.
3)Упростить выражение 2sinαcosαsin2α.
4)Упростить выражение cos8α+2sin24α.

.

Игра "Тригонометрические формулы двойного угла"

Просмотров: 6