Формулы половинного угла

.

Формулы половинного угла (их еще называют формулами половинного аргумента) выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла $\frac{\alpha }{2}$ через тригонометрические функции самого угла $\pi$.

Список формул половинного угла:

.

$sin\frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cos\alpha }{2}}$

$cos\frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+cos\alpha }{2}}$

$tg\frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cos\alpha }{1+cos\alpha }}$

$ctg\frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+cos\alpha }{1-cos\alpha }}$

.

Формулы для синуса и косинуса половинного угла справедливы для любого угла $\alpha$.

Формула для тангенса имеет место для любых углов $\alpha$, при которых определен $tg\frac{\alpha }{2}$, то есть, при $\alpha \ne \pi +2\pi \cdot z$, где z – любое целое число (при этих же $\alpha$ значение выражения $1+cos\alpha$ отлично от нуля, в противном случае мы бы столкнулись с делением на нуль).

Формула котангенса половинного угла справедлива для всех углов $\alpha$, при которых определен $ctg\frac{\alpha }{2}$, то есть, для $\alpha \ne 2\pi \cdot z$.

Значения самих функций находятся как арифметический квадратный корень из правых частей записанных равенств, взятый со знаком плюс или минус, причем знак зависит от того, углом какой из координатных четвертей  является угол $\frac{\alpha }{2}.$

.

Пример: Зная, что $cos{30}^0=\frac{\sqrt{3}}{2}$, вычислить при помощи формулы половинного угла значение косинуса ${15}^0.$

Решение.

Формула половинного угла для косинуса имеет вид $cos\frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+cos\alpha }{2},}$ тогда  $cos{15}^0=\pm \sqrt{\frac{1+cos{30}^0}{2}}=\pm \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\pm \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}.$

(таблица значений углов)

Так как угол ${15}^0$ является углом I-й координатной четверти, то косинус этого угла должен быть положительным (знаки тригонометрических функций).

То есть из вариантов знаков $\pm$ мы исключили отрицательный результат и в ответе оставили только положительный.

Ответ: $\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}.$

.

.

Сумма и разность одноименных тригонометрических функций

.

Соотношения между основными тригонометрическими функциями $sin\alpha ,cos\alpha ,tg\alpha иctg\alpha$  задаются тригонометрическими формулами. А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул.

Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.

Ниже представлена группа формул, которые называют формулами сумма и разности одноименных тригонометрических функций:

.

$sin\alpha +sin\beta =2\cdot sin\frac{\alpha +\beta }{2}\cdot cos\frac{\alpha -\beta }{2}$

$sin\alpha -sin\beta =2\cdot sin\frac{\alpha -\beta }{2}\cdot cos\frac{\alpha +\beta }{2}$

$cos\alpha +cos\beta =2\cdot cos\frac{\alpha +\beta }{2}\cdot cos\frac{\alpha -\beta }{2}$

$cos\alpha -cos\beta =-2\cdot sin\frac{\alpha -\beta }{2}\cdot sin\frac{\alpha +\beta }{2}$

$tg\alpha +tg\beta =\frac{sin\left(\alpha +\beta \right)}{cos\alpha \cdot cos\beta }$

$tg\alpha -tg\beta =\frac{sin\left(\alpha -\beta \right)}{cos\alpha \cdot cos\beta }$

$ctg\alpha +ctg\beta =\frac{sin\left(\alpha +\beta \right)}{sin\alpha \cdot sin\beta }$

$ctg\alpha -ctg\beta =\frac{sin\left(\alpha -\beta \right)}{sin\alpha \cdot sin\beta }$

.

Основное предназначение формул суммы и разности одноименных тригонометрических функций заключается в переходе от суммы к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений.

Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов.

.

Пример: Вычислить $cos{47}^0+sin{77}^0-\sqrt{3}cos{17}^0.$

Решение.

Числовые значения углов ${47}^0,{77}^0,и{17}^0$ от данных функций отсутствуют в стандартной таблице.

Значит, нам придется изменить выражение $cos{47}^0+sin{77}^0-\sqrt{3}cos{17}^0,$

воспользовавшись соответствующими правилами (формулами).

Чтобы можно было применить одну из формул суммы и разности одноименных функций (тема нашего урока), необходимо иметь пару одноименных функций, поэтому для начала преобразуем, например, $cos{47}^0$ в синус, применяя формулу приведения и знаки тригонометрических функций:

$cos{47}^0=\cos .\left({90}^0-{43}^0\right)=sin{43}^0$

.(${47}^0$находится в I-й четверти, значит будет знак «+»).

Возвращаемся к нашему примеру:

$cos{47}^0+sin{77}^0-\sqrt{3}cos{17}^0=sin{43}^0+sin{77}^0-\sqrt{3}cos{17}^0.$

Теперь можно применить формулу суммы для наших синусов:

$sin{43}^0+sin{77}^0-\sqrt{3}cos{17}^0=$

$=2\cdot sin\frac{{43}^0+{77}^0}{2}\cdot cos\frac{{43}^0-{77}^0}{2}-\sqrt{3}cos{17}^0=$

$=2\cdot sin\frac{{43}^0+{77}^0}{2}\cdot cos\frac{{43}^0-{77}^0}{2}-\sqrt{3}cos{17}^0=$

$=2\cdot sin{60}^0\cdot \cos .\left(-{17}^0\right)-\sqrt{3}cos{17}^0=$

$=2\cdot sin{60}^0\cdot cos{17}^0-\sqrt{3}cos{17}^0=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot cos{17}^0-\sqrt{3}cos{17}^0=0.$

Ответ: 0.

Пример: Вычислить $\frac{sin{37}^0-sin{53}^0}{1-2{cos}^2{41}^0}.$

.Решение.

Для преобразования числителя можно применить формулу разности синусов: $sin\alpha -sin\beta =2\cdot sin\frac{\alpha -\beta }{2}\cdot cos\frac{\alpha +\beta }{2},$а для знаменателя формулу двойного угла косинуса:

$cos2\alpha =2{cos}^2\alpha -1$, но сначала нужно изменить наше выражение соответствующим образом:

$\frac{sin{37}^0-sin{53}^0}{1-2{cos}^2{41}^0}=\frac{-(sin{53}^0-sin{37}^0)}{-(2{cos}^2{41}^0-1)}=\frac{sin{53}^0-sin{37}^0}{2{cos}^2{41}^0-1}=$

$=\frac{2\cdot sin\frac{{53}^0-{37}^0}{2}\cdot cos\frac{{53}^0+{37}^0}{2}}{cos.(2\cdot {41}^0)}=\frac{2\cdot sin{8}^0\cdot cos{45}^0}{cos.{82}^0}=$

$=2\cdot cos{45}^0=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.$

.Ответ: $\sqrt{2}$.

Пример: Упростить выражение $\frac{sin2\alpha +sin6\alpha }{cos2\alpha +cos6\alpha }-tg4\alpha .$

.Решение.

Для числителя дроби применим формулу суммы синусов

$sin\alpha +sin\beta =2\cdot sin\frac{\alpha +\beta }{2}\cdot cos\frac{\alpha -\beta }{2},$

а для знаменателя – формулу суммы косинусов $cos\alpha +cos\beta =2\cdot cos\frac{\alpha +\beta }{2}\cdot cos\frac{\alpha -\beta }{2}.$

$\frac{sin2\alpha +sin6\alpha }{cos2\alpha +cos6\alpha }-tg4\alpha =\frac{2\cdot sin\frac{2\alpha +6\alpha }{2}\cdot cos\frac{2\alpha -6\alpha }{2}}{2\cdot cos\frac{2\alpha +6\alpha }{2}\cdot cos\frac{2\alpha -6\alpha }{2}}-tg4\alpha =$

.

$=\frac{s}{i}-tg4\alpha =tg4\alpha -tg4\alpha =0.$

Ответ: $0$.

Пример: Упростить выражение $\frac{sin5\alpha -sin3\alpha +sin2\alpha }{sin\alpha (cos\alpha +1-2{sin}^{2}2\alpha )}.$

.Решение.

В числителе у нас есть три синуса с разными углами. Мы можем применить формулу суммы (разности) только к двум из них, а не к трем одновременно. Тогда, выбирая пару синусов, лучше отдать предпочтение паре $sin5\alpha -sin3\alpha$, а оставшийся $sin2\alpha$ можно разложить по формуле двойного угла $sin2\alpha =2sin\alpha \cdot cos\alpha$.

В скобке знаменателя можно заметить выражение $1-2{sin}^{2}2\alpha$, и преобразовать его, используя формулу двойного угла косинуса

$cos2\alpha =1-2{sin}^2\alpha ,$ то есть вместо $1-2{sin}^{2}2\alpha$ записать $cos4\alpha .$

Итак, приступим к решению:

$\frac{sin5\alpha -sin3\alpha +sin2\alpha }{sin\alpha (cos\alpha +1-2{sin}^{2}2\alpha )}=$

$=\frac{2\cdot sin\frac{5\alpha -3\alpha }{2}\cdot cos\frac{5\alpha +3\alpha }{2}+2sin\alpha \cdot cos\alpha }{sin\alpha (cos\alpha +cos4\alpha )}=$

$=\frac{2\cdot sin\alpha \cdot cos4\alpha +2sin\alpha \cdot cos\alpha }{sin\alpha (cos\alpha +cos4\alpha )}=$

$=\frac{2\cdot sin\alpha (cos\alpha +cos4\alpha )}{sin\alpha (cos\alpha +cos4\alpha )}=2.$

.Ответ: $2$.

.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

.

.