Тригонометрия

Формулы половинного угла. Сумма и разность одноименных тригонометрических функций

Формулы половинного угла

.

Формулы половинного угла (их еще называют формулами половинного аргумента) выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла α2.. через тригонометрические функции самого угла π.

Список формул половинного угла:

.

sinα2..=±1cosα2..

cosα2..=±1+cosα2..

tgα2..=±1cosα1+cosα..

ctgα2..=±1+cosα1cosα..

.

Формулы для синуса и косинуса половинного угла справедливы для любого угла α.

Формула для тангенса имеет место для любых углов α, при которых определен tgα2.., то есть, при απ+2πz, где z – любое целое число (при этих же α значение выражения 1+cosα отлично от нуля, в противном случае мы бы столкнулись с делением на нуль).

Формула котангенса половинного угла справедлива для всех углов α, при которых определен ctgα2.., то есть, для α2πz.

Значения самих функций находятся как арифметический квадратный корень из правых частей записанных равенств, взятый со знаком плюс или минус, причем знак зависит от того, углом какой из координатных четвертей  является угол α2...

.

Пример: Зная, что cos300=32.., вычислить при помощи формулы половинного угла значение косинуса 150.

Решение.

Формула половинного угла для косинуса имеет вид  cosα2..=±1+cosα2.., тогда  cos150=±1+cos3002..=±1+32..2..=±2+34..=2+32...

(таблица значений углов)

Так как угол 150 является углом I координатной четверти, то косинус этого угла должен быть положительным (знаки тригонометрических функций).

То есть из вариантов знаков ± мы исключили отрицательный результат и в ответе оставили только положительный.

Ответ: 2+32...

.

.

Сумма и разность одноименных тригонометрических функций

.

Соотношения между основными тригонометрическими функциями sinα, cosα, tgα и ctgα  задаются тригонометрическими формулами. А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул.

Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.

Ниже представлена группа формул, которые называют формулами сумма и разности одноименных тригонометрических функций:

.

sinα+sinβ=2sinα+β2..cosαβ2..

sinαsinβ=2sinαβ2..cosα+β2..

cosα+cosβ=2cosα+β2..cosαβ2..

cosαcosβ=2sinαβ2..sinα+β2..

tgα+tgβ=sin(α+β)cosαcosβ..

tgαtgβ=sin(αβ)cosαcosβ..

ctgα+ctgβ=sin(α+β)sinαsinβ..

ctgαctgβ=sin(αβ)sinαsinβ..

.

Основное предназначение формул суммы и разности одноименных тригонометрических функций заключается в переходе от суммы к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений.

Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов.

.

Пример: Вычислить cos470+sin7703cos170.

Решение.

Числовые значения углов 470, 770, и 170 от данных функций отсутствуют в стандартной таблице.

Значит, нам придется изменить выражение cos470+sin7703cos170,

воспользовавшись соответствующими правилами (формулами).

Чтобы можно было применить одну из формул суммы и разности одноименных функций (тема нашего урока), необходимо иметь пару одноименных функций, поэтому для начала преобразуем, например, cos470 в синус, применяя формулу приведения и знаки тригонометрических функций:

cos470=cos.(900430)=sin430

.(470 находится в I-й четверти, значит будет знак «+»).

Возвращаемся к нашему примеру:

cos470+sin7703cos170=sin430+sin7703cos170.

Теперь можно применить формулу суммы для наших синусов:

sin430+sin7703cos170=

=2sin430+7702..cos4307702..3cos170=

=2sin430+7702..cos4307702..3cos170=

=2sin600cos.(170)3cos170=

(пояснениеcos(170)=cos170, так как косинус – четная функция)

=2sin600cos1703cos170=232..cos1703cos170=0.

Ответ: 0.

Пример: Вычислить sin370sin53012cos2410...

.Решение.

Для преобразования числителя можно применить формулу разности синусов: ..sinαsinβ=2sinαβ2..cosα+β2.., а для знаменателя формулу двойного угла косинуса:

cos2α=2cos2α1, но сначала нужно изменить наше выражение соответствующим образом:

sin370sin53012cos2410..=(sin530sin370)(2cos24101)..=sin530sin3702cos24101..=

=2sin5303702..cos530+3702..cos.(2410)..=2sin80cos450cos.820..=

 

(пояснение:  cos820=cos(90080)=sin80,

Так как угол 820 является углом I-й координатной четверти, то косинус этого угла должен быть положительным (знаки тригонометрических функций), а также функция заменяется на кофункцию (косинус на синус) по формулам приведения)

 

=2cos450=222..=2.

.Ответ:  2.

Пример: Упростить выражение sin2α+sin6αcos2α+cos6α..tg4α.

.Решение. 

Для числителя дроби применим формулу суммы синусов

sinα+sinβ=2sinα+β2..cosαβ2..,

а для знаменателя формулу суммы косинусов ..cosα+cosβ=2cosα+β2..cosαβ2...

sin2α+sin6αcos2α+cos6α..tg4α=2sin2α+6α2..cos2α6α2..2cos2α+6α2..cos2α6α2....tg4α=

(пояснение: сокращаем нашу дробь, поделив числитель и знаменатель на одинаковые множители – на число 2 и на выражение cos2α6α2)

 

.

=sin4αcos4αtg4α=tg4αtg4α=0.

 

(пояснение: исходя из основного тригонометрического тождества tgα=sinαcosα, 

мы получили sin4αcos4α=tg4α).

 

Ответ:  0.

Пример: Упростить выражение sin5αsin3α+sin2αsinα(cosα+12sin22α)...

.Решение.

В числителе у нас есть три синуса с разными углами. Мы можем применить формулу суммы (разности) только к двум из них, а не к трем одновременно. Тогда, выбирая пару синусов, лучше отдать предпочтение паре sin5αsin3α, а оставшийся sin2α можно разложить по формуле двойного угла sin2α=2sinαcosα.

В скобке знаменателя можно заметить выражение 12sin22α, и преобразовать его, используя формулу двойного угла косинуса

 cos2α=12sin2α, то есть вместо 12sin22α записать cos4α.

Итак, приступим к решению:

sin5αsin3α+sin2αsinα(cosα+12sin22α)..=

=2sin5α3α2..cos5α+3α2..+2sinαcosαsinα(cosα+cos4α)..=

=2sinαcos4α+2sinαcosαsinα(cosα+cos4α)..=

 

(пояснениеесли в числителе вынести за скобку общий множитель, тем самым преобразовав числитель в произведение, то дробь в результате можно будет сократить на одинаковое выражение)

 

=2sinα(cosα+cos4α)sinα(cosα+cos4α)..=2.

.Ответ:  2.

.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

.

1)Зная, что sin300=12.., вычислить при помощи формулы половинного угла значение косинуса 150.
2)Вычислить: sin430+sin170sin770...
3)Упростить выражение: sinα+sin3α+sin5αcosα+cos3α+cos5α...

Подсказка для 3-го задания: в ответе не обязательно должно получиться числовое значение.

.

Игра "Тригонометрические формулы половинного угла"

Игра "Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций"

Просмотров: 7