Для начала перечислим все формулы сложения, и приведем их формулировки.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Формулы сложения обычно группируют две в одну, используя знаки плюс минус вида $\pm$ и минус плюс $\mp$. В таком виде они выглядят так:

.

$sin\left(\alpha \pm \beta \right)=sin\alpha \bullet cos\beta \pm cos\alpha \bullet sin\beta$

   $cos\left(\alpha \pm \beta \right)=cos\alpha \bullet cos\beta \mp sin\alpha \bullet sin\beta$   

$tg\left(\alpha \pm \beta \right)=\frac{tg\alpha \pm tg\beta }{1\mp tg\alpha \bullet tg\beta }$

$ctg\left(\alpha +\beta \right)=\frac{-1\pm ctg\alpha \bullet ctg\beta }{ctg\alpha \pm ctg\beta }$

Таблица формул сложения

.

Каждая из записанных формул сложения соответствует двум формулам, перечисленным вначале этого урока. Например, формула  $sin\left(\alpha \pm \beta \right)=sin\alpha \bullet cos\beta \pm cos\alpha \bullet sin\beta$  отвечает двум формулам: синусу суммы (когда берется верхний знак из $\pm$) и синусу разности (когда берется нижний знак из $\pm$).

Формулы сложения из таблицы называют соответственно формулами сложения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

В заключение этого отметим, что формулы сложения для синуса и косинуса справедливы для любых углов $\alpha$ и $\beta$. А формулы сложения для тангенса и котангенса справедливы для всех $\alpha$ и $\beta$, для которых определены входящие в них тангенсы и котангенсы.

.

Примеры использования формул сложения

.

Спектр применения формул сложения достаточно широк. Давайте посмотрим, как применяются эти формулы на практике.

Для начала с помощью одной из формул сложения проверим формулу приведения вида $sin\left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=cos\alpha$. Воспользуемся формулой синуса суммы.

Имеем $sin\left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=sin\frac{\pi }{2}\bullet cos\alpha +cos\frac{\pi }{2}\bullet sin\alpha =1\bullet cos\alpha +0\bullet sin\alpha =$

$\mathrm{=c}os\alpha$.

Так доказана формула $sin\left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=cos\alpha$.  (формулы приведения)

Формулы сложения позволяют вычислять точные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса некоторых углов, отличных от основных (таких, например, как $o,\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}$).

Рассмотрим решение примера.

.

Пример: Вычислить точное значение тангенса 15⁰.

Решение.

Легко заметить, что угол 15⁰ можно представить как разность 45⁰−30⁰. Тогда формула тангенса разности $tg\left(\alpha -\beta \right)=\frac{tg\alpha -tg\beta }{1+tg\alpha \bullet tg\beta }$ позволит нам вычислить требуемое значение. По указанной формуле получаем

$tg{15}^0=tg\left({45}^0-{30}^0\right)=\frac{tg{45}^0-tg{30}^0}{1+tg{45}^0\bullet tg{30}^0}$.

Теперь подставляем известные значения тангенса и завершаем вычисления:   (таблица значений углов)

$\frac{tg{45}^0-tg{30}^0}{1+tg{45}^0\bullet tg{30}^0}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+1\bullet \frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}{\frac{3+\sqrt{3}}{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=$

$\frac{(3-\sqrt{3})\bullet (3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})\bullet (3-\sqrt{3})}=$$=\frac{9-3\sqrt{3}-3\sqrt{3}+3}{9-3}=\frac{12-6\sqrt{3}}{6}=2-\sqrt{3}$

Ответ: $2-\sqrt{3}$.

.

Формулы сложения широко применяются при преобразовании тригонометрических выражений. Формулы сложения также можно использовать при доказательстве других формул тригонометрии.

.

Пример: Вычислить $cos1,5\pi$.

Решение.

$cos1,5\pi =cos\frac{3\pi }{2}=cos.(\pi +\frac{\pi }{2}).$  Далее применим формулу суммы для косинуса  

$cos\left(\alpha +\beta \right)=cos\alpha \bullet cos\beta -sin\alpha \bullet sin\beta$ :  

$\cos .\left(\pi +\frac{\pi }{2}\right)=cos\pi \bullet cos\frac{\pi }{2}-sin\pi \bullet sin\frac{\pi }{2}=1\bullet 0-0\bullet 1=$

$\mathrm{=0}.$  

(таблица значений углов)

Ответ: $0$.

.

Пример: Упростить выражение:

$\cos .\left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)\bullet \sin .\left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)-\sin .\left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)\bullet \sin .\left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right).$

Решение.

Данное выражение очень похоже на косинус суммы углов:

$cos\left(\alpha +\beta \right)=cos\alpha \bullet cos\beta -sin\alpha \bullet sin\beta .$   

Единственное отличие заключается в том, что в первом произведении вместо косинуса стоит синус, но это можно “исправить” с помощью формул приведения:

$\cos .\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=sin\alpha$,  (формулы приведения)

следовательно, $\sin .\left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)=\cos .\left(\frac{\pi }{2}-\left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)\right)=$

$\mathrm{=c}os\left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)$.

Теперь можно упростить выражение, подставив вместо синуса приведенный косинус:

Значит $\cos .\left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)\bullet \cos .\left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)-\sin .\left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)\bullet \sin .\left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=$

$=\cos .\left(\right(\frac{\pi }{4}+\alpha )+\left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right))=$

$\mathrm{=c}os\left(\frac{\pi }{4}+\alpha +\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=cos\left(\frac{2\pi }{4}\right)=сos\left(\frac{\pi }{2}\right)=0.$

(таблица значений углов)

Ответ: $0$.

.

Пример: Упростить выражение

$sin\left(\alpha +{45}^0\right)\bullet cos\left(\alpha -{45}^0\right)-cos\left(\alpha +{45}^0\right)\bullet sin\left(\alpha -{45}^0\right)$.

Решение.

Данное выражение очень похоже на синус разности углов:

$sin\left(\alpha -\beta \right)=sin\alpha \bullet cos\beta -cos\alpha \bullet sin\beta$ .

Получаем  $sin\left(\alpha +{45}^0\right)\bullet cos\left(\alpha -{45}^0\right)-cos\left(\alpha +{45}^0\right)\bullet sin\left(\alpha -{45}^0\right)=$

$=\sin .\left(\left(\alpha +{45}^0\right)-\left(\alpha -{45}^0\right)\right)=\sin .\left(\alpha +{45}^0-\alpha +{45}^0\right)=$

$\mathrm{=s}in{90}^0=1$.

(таблица значений углов)

Ответ: $1$.

.

Пример: Вычислить $sin{75}^0.$

Решение.

Представим 75⁰ как сумму 30⁰+45⁰.

Для данного выражения применим формулу синуса суммы двух углов

$sin\left(\alpha +\beta \right)=sin\alpha \bullet cos\beta +cos\alpha \bullet sin\beta$, а также используем таблицу значений углов:

$sin{75}^0=sin\left({30}^0+{45}^0\right)=sin{30}^0\bullet cos{45}^0+cos{30}^0\bullet sin{45}^0=$

$=\frac{\sqrt{3}}{2}\bullet \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\bullet \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ .

Ответ:  $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

.

Пример: Вычислить $cos{105}^0.$

Решение.

Представим 105⁰ как сумму 60⁰+45⁰.

Для данного выражения применим формулу косинуса суммы двух углов

$cos\left(\alpha +\beta \right)=cos\alpha \bullet cos\beta -sin\alpha \bullet sin\beta$, а также используем таблицу значений углов:

$cos{105}^0=cos\left({60}^0+{45}^0\right)=sos{60}^0\bullet cos{45}^0-sin{60}^0\bullet sin{45}^0=$

$=\frac{1}{2}\bullet \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\bullet \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$ .

Ответ:  $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$.

.

Пример: Вычислить $sin{85}^0\bullet cos{40}^0-cos{85}^0\bullet sin{40}^0.$

Решение.

Для данного выражения применим формулу синуса разности двух углов

$sin\left(\alpha -\beta \right)=sin\alpha \bullet cos\beta -cos\alpha \bullet sin\beta$  и таблицу значений углов:

$sin{85}^0\bullet cos{40}^0-cos{85}^0\bullet sin{40}^0=sin\left({85}^0-{40}^0\right)=$

$\mathrm{=s}in{45}^0=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

.

Вычислите:

Упростить выражение:

Подсказка: применяйте формулы сложения, а также используйте формулы приведения и таблицу значений углов или эту.