Тригонометрия

Тригонометрические формулы сложения

Для начала перечислим все формулы сложения, и приведем их формулировки.

.

 Синус суммы двух углов 
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ  – синус суммы двух углов равен сумме произведений синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго.

.

 Синус разности двух углов sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ   – синус разности двух углов равен разности произведений синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго.

.

 Косинус суммы двух углов cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ   – косинус суммы двух углов равен разности произведений косинусов этих углов и синусов этих углов.

.

 Косинус разности  cos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβ  – косинус разности двух углов равен сумме произведений косинусов этих углов и синусов этих углов.

.

 Тангенс суммы tg(α+β)=tgα+tgβ1tgαtgβ...

.

 Тангенс разности tg(αβ)=tgαtgβ1+tgαtgβ...

.

 Котангенс суммы ctg(α+β)=1+ctgαctgβctgα+ctgβ.. или ctg(α+β)=1tgαtgβtgα+tgβ...

.

 Котангенс разности ctg(αβ)=1ctgαctgβctgαctgβ.. или ctg(αβ)=1+tgαtgβtgαtgβ...

.

Формулы сложения обычно группируют две в одну, используя знаки плюс минус вида ± и минус плюс . В таком виде они выглядят так:

.

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

   cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ   

tg(α±β)=tgα±tgβ1tgαtgβ..

ctg(α+β)=1±ctgαctgβctgα±ctgβ..

Таблица формул сложения

.

Каждая из записанных формул сложения соответствует двум формулам, перечисленным вначале этого урока. Например, формула  sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ  отвечает двум формулам: синусу суммы (когда берется верхний знак из ±) и синусу разности (когда берется нижний знак из ±).

Формулы сложения из таблицы называют соответственно формулами сложения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

В заключение этого отметим, что формулы сложения для синуса и косинуса справедливы для любых углов α и β. А формулы сложения для тангенса и котангенса справедливы для всех α и β, для которых определены входящие в них тангенсы и котангенсы.

.

Примеры использования формул сложения

.

Спектр применения формул сложения достаточно широк. Давайте посмотрим, как применяются эти формулы на практике.

Для начала с помощью одной из формул сложения проверим формулу приведения вида sin(π2..+α)=cosα. Воспользуемся формулой синуса суммы.

Имеем sin(π2..+α)=sinπ2..cosα+cosπ2..sinα=1cosα+0sinα=

=cosα.

Так доказана формула sin(π2..+α)=cosα.  (формулы приведения)

Формулы сложения позволяют вычислять точные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса некоторых углов, отличных от основных (таких, например, как o,π6.., π4.., π3.., π2..).

Рассмотрим решение примера.

.

Пример: Вычислить точное значение тангенса 150.

Решение.

Легко заметить, что угол 150 можно представить как разность 450−300. Тогда формула тангенса разности tg(αβ)=tgαtgβ1+tgαtgβ.. позволит нам вычислить требуемое значение. По указанной формуле получаем

tg150=tg(450300)=tg450tg3001+tg450tg300...

Теперь подставляем известные значения тангенса и завершаем вычисления:   (таблица значений углов)

tg450tg3001+tg450tg300..=133..1+133....=333..3+33....=333+3..=

(33)(33)(3+3)(33)..==93333+393..=12636..=23

Ответ: 23.

.

Формулы сложения широко применяются при преобразовании тригонометрических выражений. Формулы сложения также можно использовать при доказательстве других формул тригонометрии.

.

Пример: Вычислить cos1,5π.

Решение.

cos1,5π=cos3π2..=cos.(π+π2..).  Далее применим формулу суммы для косинуса  

cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ :  

cos.(π+π2..)=cosπcosπ2..sinπsinπ2..=1001=

=0.  

(таблица значений углов)

Ответ: 0.

.

Пример: Упростить выражение:

cos.(π4..+α)sin.(π4..α)sin.(π4..+α)sin.(π4..α).

Решение.

Данное выражение очень похоже на косинус суммы углов:

cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ.   

Единственное отличие заключается в том, что в первом произведении вместо косинуса стоит синус, но это можно “исправить” с помощью формул приведения:

cos.(π2..α)=sinα,  (формулы приведения)

следовательно, sin.(π4..+α)=cos.(π2..(π4..+α))=

=cos(π4..α).

Теперь можно упростить выражение, подставив вместо синуса приведенный косинус:

Значит cos.(π4..+α)cos.(π4..α)sin.(π4..+α)sin.(π4..α)=

=cos.((π4..+α)+(π4..α))=

=cos(π4..+α+π4..α)=cos(2π4..)=сos(π2..)=0.

(таблица значений углов)

Ответ: 0.

.

Пример: Упростить выражение

sin(α+450)cos(α450)cos(α+450)sin(α450).

Решение.

Данное выражение очень похоже на синус разности углов:

sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ .

Получаем  sin(α+450)cos(α450)cos(α+450)sin(α450)=

=sin.((α+450)(α450))=sin.(α+450α+450)=

=sin900=1.

(таблица значений углов)

Ответ: 1.

.

Пример: Вычислить sin750.

Решение.

Представим 750 как сумму 300+450.

Для данного выражения применим формулу синуса суммы двух углов

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, а также используем таблицу значений углов:

sin750=sin(300+450)=sin300cos450+cos300sin450=

=32..22..+12..22..=6+24.. .

Ответ:  6+24...

.

Пример: Вычислить cos1050.

Решение.

Представим 1050 как сумму 600+450.

Для данного выражения применим формулу косинуса суммы двух углов

cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ, а также используем таблицу значений углов:

cos1050=cos(600+450)=sos600cos450sin600sin450=

=12..22..32..22..=264.. .

Ответ:  264...

.

Пример: Вычислить sin850cos400cos850sin400.

Решение.

Для данного выражения применим формулу синуса разности двух углов

sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ  и таблицу значений углов:

sin850cos400cos850sin400=sin(850400)=

=sin450=22...

Ответ: 22...

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

.

Вычислите:

1)sin240⁰ .
2)cos63⁰ cos33⁰ + sin63⁰ sin33⁰.

.

Упростить выражение:

1)tg(300+α)tgα1+tg(300+α)tgα...

.

Подсказка: применяйте формулы сложения, а также используйте формулы приведения и таблицу значений углов или эту.

/

Просмотров: 10