Тригонометрические формулы сложения

Тригонометрия

Тригонометрические формулы сложения

Для начала перечислим все формулы сложения, и приведем их формулировки.

• Синус суммы двух углов

n (α + β) = s i n α ∙ c o s β + c o s α ∙ s i n β

– синус суммы двух углов равен сумме произведений синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго.

• Синус разности двух углов

s i n (α - β) = s i n α ∙ c o s β - c o s α ∙ s i n β

– синус разности двух углов равен разности произведений синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго.

• Косинус суммы двух углов

c o s (α + β) = c o s α ∙ c o s β - s i n α ∙ s i n β

– косинус суммы двух углов равен разности произведений косинусов этих углов и синусов этих углов.

• Косинус разности

c o s (α - β) = c o s α ∙ c o s β + s i n α ∙ s i n β

– косинус разности двух углов равен сумме произведений косинусов этих углов и синусов этих углов.

• Тангенс суммы $t g (α + β) = \frac{t g α + t g β}{1 - t g α ∙ t g β}$ .

• Тангенс разности

t g (α - β) = \frac{t g α - t g β}{1 + t g α ∙ t g β}

• Котангенс суммы

c t g (α + β) = \frac{- 1 + c t g α ∙ c t g β}{c t g α + c t g β} и л и

c t g (α + β) = \frac{1 - t g α ∙ t g β}{t g α + t g β}

• Котангенс разности

c t g (α - β) = \frac{- 1 - c t g α ∙ c t g β}{c t g α - c t g β} и л и

c t g (α - β) = \frac{1 + t g α ∙ t g β}{t g α - t g β}

Формулы сложения обычно группируют две в одну, используя знаки плюс минус вида $\pm$ и минус плюс $\mp$ . В таком виде они выглядят так:

$s i n (α \pm β) = s i n α ∙ c o s β \pm c o s α ∙ s i n β$

$c o s (α \pm β) = c o s α ∙ c o s β \mp s i n α ∙ s i n β$

$t g (α \pm β) = \frac{t g α \pm t g β}{1 \mp t g α ∙ t g β}$

$c t g (α + β) = \frac{- 1 \pm c t g α ∙ c t g β}{c t g α \pm c t g β}$

Таблица формул сложения

Каждая из записанных формул сложения соответствует двум формулам, перечисленным вначале этого урока. Например, формула $s i n (α \pm β) = s i n α ∙ c o s β \pm c o s α ∙ s i n β$ отвечает двум формулам: синусу суммы (когда берется верхний знак из $\pm$ ) и синусу разности (когда берется нижний знак из $\pm$ ).

Формулы сложения из таблицы называют соответственно формулами сложения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

В заключение этого отметим, что формулы сложения для синуса и косинуса справедливы для любых углов $α$ и $β$ . А формулы сложения для тангенса и котангенса справедливы для всех $α$ и $β$ , для которых определены входящие в них тангенсы и котангенсы.

Примеры использования формул сложения

Спектр применения формул сложения достаточно широк. Давайте посмотрим, как применяются эти формулы на практике.

Для начала с помощью одной из формул сложения проверим формулу приведения вида $s i n (\frac{π}{2} + α) = c o s α$ . Воспользуемся формулой синуса суммы.

Имеем $s i n (\frac{π}{2} + α) = s i n \frac{π}{2} ∙ c o s α + c o s \frac{π}{2} ∙ s i n α = 1 ∙ c o s α + 0 ∙ s i n α =$

$=c o s α$ .

Так доказана формула $s i n (\frac{π}{2} + α) = c o s α$ . (формулы приведения)

Формулы сложения позволяют вычислять точные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса некоторых углов, отличных от основных (таких, например, как $o, \frac{π}{6}, \frac{π}{4}, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}$ ).

Рассмотрим решение примера.

Пример: Вычислить точное значение тангенса 15⁰.

Решение.

Легко заметить, что угол 15⁰ можно представить как разность 45⁰−30⁰. Тогда формула тангенса разности $t g (α - β) = \frac{t g α - t g β}{1 + t g α ∙ t g β}$ позволит нам вычислить требуемое значение. По указанной формуле получаем

$t g 15^{0} = t g (45^{0} - 30^{0}) = \frac{t g 45^{0} - t g 30^{0}}{1 + t g 45^{0} ∙ t g 30^{0}}$ .

Теперь подставляем известные значения тангенса и завершаем вычисления: (таблица значений углов)

$\frac{t g 45^{0} - t g 30^{0}}{1 + t g 45^{0} ∙ t g 30^{0}} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 ∙ \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} =$

$\frac{(3 - \sqrt{3}) ∙ (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) ∙ (3 - \sqrt{3})} =$ $= \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3}$

Ответ: $2 - \sqrt{3}$ .

Формулы сложения широко применяются при преобразовании тригонометрических выражений. Формулы сложения также можно использовать при доказательстве других формул тригонометрии.

Пример: Вычислить $c o s 1, 5 π$ .

Решение.

$c o s 1, 5 π = c o s \frac{3 π}{2} = c o s . (π + \frac{π}{2}) .$ Далее применим формулу суммы для косинуса

$c o s (α + β) = c o s α ∙ c o s β - s i n α ∙ s i n β$ :

$cos . (π + \frac{π}{2}) = c o s π ∙ c o s \frac{π}{2} - s i n π ∙ s i n \frac{π}{2} = 1 ∙ 0 - 0 ∙ 1 =$

$=0 .$

(таблица значений углов)

Ответ: $0$ .

Пример: Упростить выражение:

$cos . (\frac{π}{4} + α) ∙ sin . (\frac{π}{4} - α) - sin . (\frac{π}{4} + α) ∙ sin . (\frac{π}{4} - α) .$

Решение.

Данное выражение очень похоже на косинус суммы углов:

$c o s (α + β) = c o s α ∙ c o s β - s i n α ∙ s i n β .$

Единственное отличие заключается в том, что в первом произведении вместо косинуса стоит синус, но это можно “исправить” с помощью формул приведения:

$cos . (\frac{π}{2} - α) = s i n α$ , (формулы приведения)

следовательно, $sin . (\frac{π}{4} + α) = cos . (\frac{π}{2} - (\frac{π}{4} + α)) =$

$=c o s (\frac{π}{4} - α)$ .

Теперь можно упростить выражение, подставив вместо синуса приведенный косинус:

Значит $cos . (\frac{π}{4} + α) ∙ cos . (\frac{π}{4} - α) - sin . (\frac{π}{4} + α) ∙ sin . (\frac{π}{4} - α) =$

$= cos . ((\frac{π}{4} + α) + (\frac{π}{4} - α)) =$

$=c o s (\frac{π}{4} + α + \frac{π}{4} - α) = c o s (\frac{2 π}{4}) = с o s (\frac{π}{2}) = 0 .$

(таблица значений углов)

Ответ: $0$ .

Пример: Упростить выражение

$s i n (α + 45^{0}) ∙ c o s (α - 45^{0}) - c o s (α + 45^{0}) ∙ s i n (α - 45^{0})$ .

Решение.

Данное выражение очень похоже на синус разности углов:

$s i n (α - β) = s i n α ∙ c o s β - c o s α ∙ s i n β$ .

Получаем $s i n (α + 45^{0}) ∙ c o s (α - 45^{0}) - c o s (α + 45^{0}) ∙ s i n (α - 45^{0}) =$

$= sin . ((α + 45^{0}) - (α - 45^{0})) = sin . (α + 45^{0} - α + 45^{0}) =$

$=s i n 90^{0} = 1$ .

(таблица значений углов)

Ответ: $1$ .

Пример: Вычислить $s i n 75^{0} .$

Решение.

Представим 75⁰ как сумму 30⁰+45⁰.

Для данного выражения применим формулу синуса суммы двух углов

$s i n (α + β) = s i n α ∙ c o s β + c o s α ∙ s i n β$ , а также используем таблицу значений углов:

$s i n 75^{0} = s i n (30^{0} + 45^{0}) = s i n 30^{0} ∙ c o s 45^{0} + c o s 30^{0} ∙ s i n 45^{0} =$

$= \frac{\sqrt{3}}{2} ∙ \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} ∙ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Пример: Вычислить $c o s 105^{0} .$

Решение.

Представим 105⁰ как сумму 60⁰+45⁰.

Для данного выражения применим формулу косинуса суммы двух углов

$c o s (α + β) = c o s α ∙ c o s β - s i n α ∙ s i n β$ , а также используем таблицу значений углов:

$c o s 105^{0} = c o s (60^{0} + 45^{0}) = s o s 60^{0} ∙ c o s 45^{0} - s i n 60^{0} ∙ s i n 45^{0} =$

$= \frac{1}{2} ∙ \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} ∙ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ .

Ответ: $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ .

Пример: Вычислить $s i n 85^{0} ∙ c o s 40^{0} - c o s 85^{0} ∙ s i n 40^{0} .$

Решение.

Для данного выражения применим формулу синуса разности двух углов

$s i n (α - β) = s i n α ∙ c o s β - c o s α ∙ s i n β$ и таблицу значений углов:

$s i n 85^{0} ∙ c o s 40^{0} - c o s 85^{0} ∙ s i n 40^{0} = s i n (85^{0} - 40^{0}) =$

$=s i n 45^{0} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Вычислите:

1)sin240⁰ .

2)cos63⁰ cos33⁰ + sin63⁰ sin33⁰.

Упростить выражение:

\frac{t g (30^{0} + α) - t g α}{1 + t g {(30}^{0} + α) ∙ t g α}

Подсказка: применяйте формулы сложения, а также используйте формулы приведения и таблицу значений углов или эту.

Игра "Тригонометрические формулы сложения"

Тригонометрия

Тригонометрические формулы сложения

Для начала перечислим все формулы сложения, и приведем их формулировки.

Таблица формул сложения

Игра "Тригонометрические формулы сложения"

Похожие записи